Question

19．已知f（x）=$\frac{1}{3}{x}^{3}+{x}^{2}$+ax與g（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$
（1）若f（x）在區(qū)間[1，+∞）單調(diào)遞增，求a的最小值；
（2）求函數(shù)g（x）的在區(qū)間[-1，2]上的最大值與最小值；
（3）對(duì)?x₁∈[-1，2]，?x₂∈[-1，2]，使g（x₁）=f′（x₂）成立，求a的范圍．

Answer 1

分析 （1）由求導(dǎo)公式和法則求出f′（x），由導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，將條件轉(zhuǎn)化為f′（x）≥0在[1，+∞）恒成立，利用分離常數(shù)法和二次函數(shù)的性質(zhì)求解；
（2）由求導(dǎo)公式和法則求出g′（x），由函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，求出g（x）在區(qū)間[-1，2]上的單調(diào)性、最大值與最小值；
（3）將“?x₁∈[-1，2]，?x₂∈[-1，2]，使g（x₁）=f′（x₂）成立”轉(zhuǎn)化成“f′（x）的值域包含g（x）的值域”，利用函數(shù)單調(diào)性求出f′（x）的值域，由集合間的關(guān)系列出不等式，求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）由題意得，f′（x）=x²+2x+a，
∵f（x）在區(qū)間[1，+∞）單調(diào)遞增，
∴f′（x）=x²+2x+a≥0在區(qū)間[1，+∞）上恒成立，
即a≥-x²-2x=-（x+1）²+1在區(qū)間[1，+∞）上恒成立，
設(shè)y=-x²-2x=-（x+1）²+1，∵函數(shù)y在[1，+∞）上單調(diào)遞減，
∴函數(shù)y的最大值為-3，即a≥-3，
∴a的最小值是-3；
（2）∵g（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$，∴g′（x）=$\frac{{e}^{x}-x•{e}^{x}}{{e}^{2x}}$=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$，
由g′（x）=0得，x=1，
∴g（x）在（-1，1）上單調(diào)遞增，在（1，2）上單調(diào)遞減，
∵g（-1）=-e，g（2）=$\frac{2}{{e}^{2}}$，
∴在[-1，2]上g（x）_max=g（1）=$\frac{1}{e}$，∴g（x）_min=-e；
（3）∵?x₁∈[-1，2]，?x₂∈[-1，2]，使g（x₁）=f′（x₂）成立，
∴f′（x）的值域包含g（x）的值域[-e，$\frac{1}{e}$]，
∵f′（x）=x²+2x+a=（x+1）²+a-1在[-1，2]上單調(diào)遞增，
∴[f′（x）]_max=[f′（2）]=8+a，[f′（x）]_min=[f′（-1）]=a-1，
則f′（x）的值域是[a-1，a+8]．
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+8≥\frac{1}{e}}\\{a-1≤-e}\end{array}\right.$，解得$\frac{1}{e}-8$≤a≤1-e，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[$\frac{1}{e}-8$，1-e]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性、最值關(guān)系的應(yīng)用，一元二次函數(shù)的性質(zhì)，以及對(duì)于“?”“?”的理解，考查轉(zhuǎn)化思想，分析問題、解決問題的能力．