Question

20．為研究家用轎車在高速公路上的車速情況，交通部門召集了100名家用轎車駕駛員進行調查，得到其在高速公路上行駛時的平均速度情況為：在55名男性駕駛員中，平均車速超過80km/h的有40人，不超過80km/h的有15人，在45名女性駕駛員中，平均車速超過80km/h的有20人，不超過80km/h的有25人．
（1）（Ⅰ）完成下面的列聯表：

	平均車速超過80km/h	平均車速不超過80km/h	合計
男性駕駛員
女性駕駛員
合計

（Ⅱ）判斷是否有99.5%的把握認為平均車速超過80km/h與性別有關．
參考公式與臨界值表：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d

P（K2≥k）	0.1500	0.1000	0.050	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（2）在被調查的駕駛員中，按分層抽樣從平均車速超過80km/h的人中抽取6人，再從這6人中常用簡單隨機抽樣的方法隨機抽取2人，求這2人恰好為1名男性1名女性的概率；
（3）以上述樣本數據估計總體，在高速公路上行駛的家用轎車中隨機抽取3輛，記這3輛車均為男性駕駛員且車速超過80km/h的車輛數為X，求X的分布列和數學期望EX．

Answer 1

分析 （1）（Ⅰ）完成下面的列聯表，并判斷是否有99.5%的把握認為平均車速超過100km/h的人與性別有關．求出Χ²，即可判斷是否有99.5%的把握認為平均車速超過100km/h的人與性別有關．
（Ⅱ）求出基本事件的個數，利用古典概型概率公式求解即可；
（2）根據樣本估計總體的思想，從高速公路上行駛的大量家用轎車中隨機抽取1輛，駕駛員為男性且車速超過100km/h的車輛的概率，X可取值是0，1，2，3，X～B（3，0.4），求出概率得到分布列，然后求解期望即可．

解答 解：（1）（Ⅰ）

	平均車速超過100km/h人數	平均車速不超過100km/h人數	合計
男性駕駛員人數	40	15	55
女性駕駛員人數	20	25	45
合計	60	40	100

因為K²=$\frac{100×（40×25-15×20）^{2}}{60×40×55×45}$≈8.249＞7.879，所以有99.5%的把握認為平均車速超過100km/h與性別有關．
（Ⅱ）由題意抽取6人中，男性4人，女性2人，從這6人中隨機抽取2人得樣本空間數是${C}_{6}^{2}$=15，
其中這2人恰好為1名男生1名女生的數是4×2=8，
因此這2人恰好為1名男生1名女生的概率是P=$\frac{8}{15}$；
（2）根據樣本估計總體的思想，從高速公路上行駛的大量家用轎車中隨機抽取1輛，駕駛員為男性且車速超過100km/h的車輛的概率為0.4．X可取值是0，1，2，3，X～B（3，0.4），
有：P（X=0）=${C}_{3}^{0}•0．{6}^{3}$=$\frac{27}{125}$，P（X=1）=${C}_{3}^{1}•0.4•0．{6}^{2}$=$\frac{54}{125}$，
P（X=2）=${C}_{3}^{2}•0．{4}^{2}•0.6$=$\frac{36}{125}$．P（X=3）=${C}_{3}^{3}•0．{4}^{3}$=$\frac{8}{125}$．
分布列為

X	0	1	2	3
P	$\frac{27}{125}$	$\frac{54}{125}$	$\frac{36}{125}$	$\frac{8}{125}$

E（X）=0×$\frac{27}{125}$+1×$\frac{54}{125}$+2×$\frac{36}{125}$+3×$\frac{8}{125}$=1.2．

點評 本題考查離散性隨機變量的分布列，期望的求法，獨立檢驗的應用，考查分析問題解決問題的能力．