Question

16．已知某品牌手機公司生產(chǎn)某款手機的年固定成本為40萬美元，每生產(chǎn)1萬部還需另投入16萬美元．設(shè)公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該款手機x萬部并全部銷售完，每萬部的銷售收入為R（x）萬美元，且R（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{400-6x，0＜x≤40}\\{\frac{8000}{x}-\frac{57600}{x^2}，x＞40}\end{array}}\right.$．
（Ⅰ）寫出年利潤f（x）（萬美元）關(guān)于年產(chǎn)量x（萬部）的函數(shù)解析式；
（Ⅱ）當年產(chǎn)量為多少萬部時，公司在該款手機的生產(chǎn)中所獲得的利潤最大？并求出最大利潤．

Answer 1

分析 （1）利用利潤等于收入減去成本，可得分段函數(shù)解析式；
（2）分段求出函數(shù)的最大值，比較可得結(jié)論．

解答 解：（1）利用利潤等于收入減去成本，可得
當0＜x≤40時，f（x）=xR（x）-（16x+40）=-6x²+384x-40；
當x＞40時，f（x）=xR（x）-（16x+40）=-$\frac{57600}{x}$-16x+7960
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-6{x}^{2}+384x-40，0＜x≤40}\\{-\frac{57600}{x}-16x+7960，x＞40}\end{array}\right.$；
（2）當0＜x≤40時，f（x）=-6x²+384x-40=-6（x-32）²+6104，
∴x=32時，f（x）_max=f（32）=6104；
當x＞40時，f（x）=xR（x）-（16x+40）=-$\frac{57600}{x}$-16x+7960≤-2$\sqrt{\frac{57600}{x}•16x}$+7960，
當且僅當$\frac{57600}{x}$=16x，即x=60時，f（x）_max=f（60）=6040
∵6040＜6104
∴x=32時，f（x）的最大值為6104萬美元．

點評 本題考查分段函數(shù)模型的構(gòu)建，考查利用數(shù)學知識解決實際問題，考查學生的計算能力，屬于中檔題．