Question

12．設(shè)公差不為零的等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，若S₃=12，a₁，a₂，a₆成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=$\frac{6n-1}{{{{（{3n+1}）}^2}•a_n^2}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （I）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d≠0，由a₁，a₂，a₆成等比數(shù)列，可得：$（{a}_{1}+d）^{2}={a}_{1}（{a}_{1}+5d）$，又S₃=12，3a₁+3d=12，聯(lián)立解得a₁，d．即可得出．
（II）b_n=$\frac{6n-1}{（3n+1）^{2}（3n-2）^{2}}$=$\frac{1}{3}$$[\frac{1}{（3n-2）^{2}}-\frac{1}{（3n+1）^{2}}]$，利用“裂項求和”方法即可得出．

解答 解：（I）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d≠0，∵a₁，a₂，a₆成等比數(shù)列，${a}_{2}^{2}$=a₁a₆，
∴$（{a}_{1}+d）^{2}={a}_{1}（{a}_{1}+5d）$，化為：d=3a₁．
又S₃=12，3a₁+3d=12，化為a₁+d=4，聯(lián)立解得a₁=1，d=3．
∴a_n=1+3（n-1）=3n-2．
（II）b_n=$\frac{6n-1}{{{{（{3n+1}）}^2}•a_n^2}}$=$\frac{6n-1}{（3n+1）^{2}（3n-2）^{2}}$=$\frac{1}{3}$$[\frac{1}{（3n-2）^{2}}-\frac{1}{（3n+1）^{2}}]$，
∴數(shù)列{b_n}的前n項和T_n=$\frac{1}{3}[（1-\frac{1}{{4}^{2}}）$+$（\frac{1}{{4}^{2}}-\frac{1}{{7}^{2}}）$+…+$\frac{1}{（3n-2）^{2}}-\frac{1}{（3n+1）^{2}}]$=$\frac{1}{3}[1-\frac{1}{（3n+1）^{2}}]$=$\frac{n（3n+2）}{（3n+1）^{2}}$

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式、“裂項求和”方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．