Question

13．已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，且AB=AE=BF=$\frac{1}{2}$EF，AB∥EF，AD⊥底面AEFB，G是EF的中點(diǎn)．
（1）求證：DE∥平面AGC
（2）求證：AG⊥平面BCE．

Answer 1

分析 （1）欲證明DE∥平面AGC，只需推知DE∥GC即可，根據(jù)已知條件可以判定四邊形DEGC是平行四邊形，則易證得DE∥GC；
（2）根據(jù)已知條件推知BC⊥AG；由正方形的性質(zhì)和菱形的判定定理推知四邊形AEGB是菱形，則該菱形的對(duì)角線相互垂直：AG⊥EB，易證得結(jié)論．

解答 （1）證明：在正方形ABCD中，CD=AB，CD∥AB．
∵AB∥EF，
∴CD∥EF，
∴CD∥EG．
又∵AB=$\frac{1}{2}$EF且G是EF的中點(diǎn)，
∴CD=GE，
∴四邊形DEGC是平行四邊形，
∴DE∥GC．
又∵ED?平面AGC，GC?平面AGC，
∴DE∥平面AGC
（2）證明：在正方形ABCD中，AD∥BC．
∵AD⊥底面AEFB，
∴BC⊥底面AEFB，
∴AG⊥BC．
又∵AB∥EF，AB=$\frac{1}{2}$EF且G是EF的中點(diǎn)，
∴AB=EG，
∴四邊形AEGB是平行四邊形，
又∵AB=AE，
∴平行四邊形AEGB是菱形，
∴AG⊥EB．
又∵AG?平面BCE，BE∩BC=B，
∴AG⊥平面BCE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定．熟記判定定理即可證得結(jié)論，屬于基礎(chǔ)題．