Question

4．某商品每天以每瓶5元的價格從奶廠購進若干瓶24小時新鮮牛奶，然后以每瓶8元的價格出售，如果當天該牛奶賣不完，則剩下的牛奶就不再出售，由奶廠以每瓶2元的價格回收處理．
（1）若商品一天購進20瓶牛奶，求當天的利潤y（單位：元）關于當天需求量n（單位：瓶，n∈N）的函數(shù)解析式；
（2）商店記錄了50天該牛奶的日需求量（單位：瓶），整理得如表：

日需求量n（瓶）	17	18	19	20	21	22	23
頻數(shù)	5	5	8	12	10	6	4

以50天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率，假設商店一天購進20瓶牛奶，隨機變量X表示當天的利潤（單位：元），求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

分析 （1）利用分段函數(shù)直接列出函數(shù)的解析式即可．
（2）隨機變量X可取42，48，54，60，求出概率，列出分布列，然后求解期望即可．

解答 解：（Ⅰ）當日需求量n≥20時，利潤y=60（元）；
當日需求量n＜20時，利潤y=8n+2（20-n）-100=6n-60（元），
則利潤y關于當天需求量n的函數(shù)解析式為：$y=\left\{\begin{array}{l}6n-60，n＜20\\ 60，n≥20\end{array}\right.$（n∈N）．…6分
（Ⅱ）隨機變量X可取42，48，54，60，
則P（X=42）=0.1，P（X=48）=0.1，P（X=54）=0.16，P（X=60）=0.64，
隨機變量X的分布列為

X	42	48	54	60
P	0.1	0.1	0.16	0.64

…（10分）
EX=42×0.1+48×0.1+54×0.16+60×0.64=56.04．…（12分）

點評 本題考查分段函數(shù)的應用，離散型隨機變量的分布列以及期望的求法，考查計算能力．