在邊長為a的正三角形的三角處各剪去一個四邊形，這個四邊形是由兩個全等的直角三角形組成的，并且這三個四邊形也全等（如圖1），若用剩下的部分折成一個無蓋的正三棱柱形容器（如圖2），試求當(dāng)容器的高為多少時，可使這個容器的容積最大？并求這容器的最大容積．
考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積
專題：空間位置關(guān)系與距離
分析：設(shè)容器的高為x，則容器底面正三角形的邊長為a-2
3
x，V（x）=
3
4
•x•（a-2
3
x）2，0＜x＜
a
2
3
，由此能求出當(dāng)容器的高為
3
18
a時，容器的容積最大，其最大容積為
a3
54
．
解答： 解：設(shè)容器的高為x，則容器底面正三角形的邊長為a-2
3
x，
∴V（x）=
3
4
•x•（a-2
3
x）2，0＜x＜
a
2
3

=
3
4
•
1
4
3
•4
3
x•(a-2
3
x)(a-2
3
x)
≤
1
16
（
4
3
x+a-2
3
x+a-2
3
x
3
）3=
a3
54
，
當(dāng)且僅當(dāng)4
3
x=a-2
3
x，即x=
3
18
a時，Vmax=
a3
54
．
故當(dāng)容器的高為
3
18
a時，容器的容積最大，其最大容積為
a3
54
．
點評：本題考查幾何體的容積的最大值的求法，是中檔題，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)集合P={a1，a2}，Q={b1，b2}，定義集合P※Q={（a，b）|a∈P，b∈Q}，則集合P※Q中的元素有
 
個．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2sinωx（ω＞0），且函數(shù)y=f（x）圖象的兩條相鄰對稱軸間距離為
π
2

（1）求f（-
17π
12
）的值；
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移
π
12
個單位長度，再將所得圖象上各點的橫坐標(biāo)縮短為原來的
1
2
倍（坐標(biāo)標(biāo)不變）
得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，
π
4
]上的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

函數(shù)f（x）=cos2x取得最小值時的自變量x的集合為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知直線l過定點A（1，2），與x軸交點在（-3，0）和（3，0）兩點之間，求直線l在y軸上的截距的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD=90°，BC=3，AB=4，DA=6
（1）當(dāng)AA1=5時，求直線C1D與平面ABCD所成角的正切值；
（2）當(dāng)AA1的值變化時，求點C到平面A1C1D的距離d的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1、F2，過點F1斜率為正的直線交橢圓于A、B兩點，且
AB
•
AF2
=O，|AF2|、|AB|、|BF2|成等差數(shù)列．
（1）求橢圓的離心率．
（2）若直線y=kx與橢圓交于C、D兩點，求使四邊形ACBD的面積S最大的實數(shù)k的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）是定義在[-1，1]上的偶函數(shù)，且x∈[-1，0]時，f（x）=
x
x2+1

（1）求f（0），f（-1）；
（2）求函數(shù)f（x）的表達式；
（3）判斷并證明函數(shù)在區(qū)間[-1，0]上的單調(diào)性．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）=x2-2x-ln（x+1）2．
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若函數(shù)F（x）=f（x）-x2+3x+a在[-
1
2
，2]上只有一個零點，求實數(shù)a的取值范圍．

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