4．若一個(gè)橢圓長(zhǎng)軸的長(zhǎng)度、短軸的長(zhǎng)度和焦距成等比數(shù)列，則此橢圓的離心率為$\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$．

分析 設(shè)出橢圓的焦距、短軸長(zhǎng)、長(zhǎng)軸長(zhǎng)分別為2c，2b，2a，通過橢圓的短軸長(zhǎng)是長(zhǎng)軸長(zhǎng)與焦距的等比中項(xiàng)，建立關(guān)于a，b，c的等式，求出橢圓的離心率即可．

解答 解：設(shè)出橢圓的焦距、短軸長(zhǎng)、長(zhǎng)軸長(zhǎng)分別為2c，2b，2a，
∵橢圓長(zhǎng)軸的長(zhǎng)度、短軸的長(zhǎng)度和焦距成等比數(shù)列，
∴4b2=2a•2c，
∴b2=a•c
∴b2=a2-c2=a•c，
由e=$\frac{c}{a}$，
兩邊同除以a2得：e2+e-1=0，
解得：e=$\frac{-1±\sqrt{5}}{2}$，
由0＜e＜1，
∴e=$\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$．
故答案為：$\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的基本性質(zhì)，等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．

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x1020304050
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（　�。�
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A．y=$\sqrt{{x}^{2}}$B．y=logaax（a＞0且a≠1）
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