Question

【題目】有一塊以點(diǎn)O為圓心，半徑為2百米的圓形草坪，草坪內(nèi)距離O點(diǎn) 百米的D點(diǎn)有一用于灌溉的水籠頭，現(xiàn)準(zhǔn)備過點(diǎn)D修一條筆直小路交草坪圓周于A，B兩點(diǎn)，為了方便居民散步，同時(shí)修建小路OA，OB，其中小路的寬度忽略不計(jì)．

（1）若要使修建的小路的費(fèi)用最省，試求小路的最短長(zhǎng)度；
（2）若要在△ABO區(qū)域內(nèi)（含邊界）規(guī)劃出一塊圓形的場(chǎng)地用于老年人跳廣場(chǎng)舞，試求這塊圓形廣場(chǎng)的最大面積．（結(jié)果保留根號(hào)和π）

Answer 1

【答案】
（1）解：小路的長(zhǎng)度l=OA+OB+AB=（400+AB）米，

要使小路的長(zhǎng)度最短，只需AB最短即可．

當(dāng)OD⊥AB時(shí)，圓心距d最長(zhǎng)為OD，此時(shí)AB最短，

（AB）min=2 ×2=200 米，

∴小路的最短長(zhǎng)度為（4+2 ）（百米）．

（2）依題意，圓形廣場(chǎng)內(nèi)切于△ABO時(shí)，這塊圓形廣場(chǎng)的最大面積．

設(shè)△ABO的內(nèi)切圓半徑為r，

則有 = ，

由弦長(zhǎng)公式得AB=2 ， ．

令A(yù)B=x，則r2=f（x）= ， ；

∵ ，∴x=AB=2 ．

∴ ，∴ =6﹣4 ．

這塊圓形廣場(chǎng)的最大面積s=πr2=（6﹣4 ）π（百米2）

【解析】（1）先寫出小路長(zhǎng)度的函數(shù)解析式，再利用弦長(zhǎng)公式可得AB的最小值，進(jìn)而可得小路的最短長(zhǎng)度；（2）先令A(yù)B=x，利用已知條件可得r2用含有x的式子表示，再設(shè)r2=f（x），對(duì)f（x）求導(dǎo)，判斷f（x）的單調(diào)性，進(jìn)而可得f（x）的最大值，從而可得這塊圓形廣場(chǎng)的最大面積．