Question

6．將一個棱長為a的正方體嵌入到四個半徑為1且兩兩相切的實心小球所形成的球間空隙內(nèi)，使得正方體能夠任意自由地轉(zhuǎn)動，則a的最大值為$\frac{{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}}{3}$．

Answer 1

分析 若在四個半徑為1且兩兩相切的實心小球所形成的球間空隙內(nèi)放置一個與其它球都相切的小球，可先求出該球的半徑，若將一個棱長為a的正方體嵌入到四個半徑為1且兩兩相切的實心小球所形成的球間空隙內(nèi)，使得正方體能夠任意自由地轉(zhuǎn)動，則$\sqrt{3}$a=2r，進(jìn)而可得答案．

解答 解：若在四個半徑為1且兩兩相切的實心小球所形成的球間空隙內(nèi)放置一個與其它球都相切的小球，
設(shè)該小球的半徑為r，
則r+1+$\sqrt{（r+1）^{2}-（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
解得：r=$\frac{\sqrt{6}-2}{2}$，
若將一個棱長為a的正方體嵌入到四個半徑為1且兩兩相切的實心小球所形成的球間空隙內(nèi)，使得正方體能夠任意自由地轉(zhuǎn)動，
則：$\sqrt{3}$a=2r，
解得：a=$\frac{{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}}{3}$，
故答案為：$\frac{{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}}{3}$．

點評 本題考查的知識點是空間球與球之間的位置關(guān)系，正三棱錐的高與棱長的關(guān)系，難度較大．