Question

3．已知等差數(shù)列{a_n}的首項a₁=1，公差d≠0，S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和．若向量$\overrightarrow m$=（{a₁，a₃），$\overrightarrow n$=（a₁₃，-a₃），且$\overrightarrow m$•$\overrightarrow n$=0，則$\frac{2{S}_{n}+16}{{a}_{n}+3}$的最小值為（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 2$\sqrt{3}$-2
• D． $\frac{9}{2}$

Answer 1

分析 由向量數(shù)量積為0得到數(shù)列公差，求出通項和前n項和，代入$\frac{2{S}_{n}+16}{{a}_{n}+3}$，變形后利用基本不等式求得最值．

解答 解：由$\overrightarrow m$=（{a₁，a₃），$\overrightarrow n$=（a₁₃，-a₃），且$\overrightarrow m$•$\overrightarrow n$=0，
得${a}_{1}{a}_{13}-{{a}_{3}}^{2}=0$，
又等差數(shù)列{a_n}的首項a₁=1，公差d≠0，
得1×（1+12d）=（1+2d）²，解得：d=2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1，${S}_{n}=n+\frac{n（n-1）×2}{2}={n}^{2}$．
則$\frac{2{S}_{n}+16}{{a}_{n}+3}$=$\frac{2{n}^{2}+16}{2n+2}=\frac{{n}^{2}+8}{n+1}$=$\frac{（n+1）^{2}-2（n+1）+9}{n+1}$=$（n+1）+\frac{9}{n+1}-2≥2\sqrt{（n+1）•\frac{9}{n+1}}-2=4$．
當且僅當$n+1=\frac{9}{n+1}$，即n=2時上式等號成立．
∴$\frac{2{S}_{n}+16}{{a}_{n}+3}$的最小值為4．
故選：A．

點評 本題考查向量垂直與數(shù)量積間的關(guān)系，考查了數(shù)列遞推式，訓練了利用基本不等式求函數(shù)的最值，是中檔題．