Question

11．在△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)P是平面ABC外一點(diǎn)，且PC=24，若點(diǎn)P到直線AC、BC的距離都等于$6\sqrt{10}$，則PC與平面ABC所成角的大小為30°．

Answer 1

分析 過P作平面ABC，AC，BC的垂線PM，PD，PE，則可證M在∠ACB的平分線上，利用勾股定理計算CE，CM，求出cos∠PCM即可得出∠PCM的大�。�

解答 解：過P作PD⊥AC于D，PE⊥BC于E，PM⊥平面ABC，垂足為M，連結(jié)DM，EM，CM．
∵PD=PE=6$\sqrt{10}$，DM=EM，∠PMD=∠PME=90°，
∴△PMD≌△PME，
∴DM=EM，
∵AC⊥PD，AC⊥PM，∴AC⊥平面PDM，
∴AC⊥DM，同理：BC⊥EM．
∴M在∠BCA的角平分線上，
∴∠BCM=45°，
∵CE=$\sqrt{P{C}^{2}-P{E}^{2}}$=6$\sqrt{6}$，∴MC=$\sqrt{2}$CE=12$\sqrt{3}$．
∴cos∠PCM=$\frac{CM}{PC}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴∠PCM=30°．
即PC與平面ABC所成角為30°．
故答案為：30°．

點(diǎn)評 本題考查了線面角的作法與計算，屬于中檔題．