Question

20．函數(shù)f（x）的定義域為D，若滿足：①f（x）在D內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；�、谌舸嬖赱a，b]⊆D，使得f（x）在[a，b]上的值域為[2a，2b]，則稱函數(shù)f（x）為“成功函數(shù)”．若函數(shù)f（x）=log_c（c^4x+3t）（c＞0，c≠1）是“成功函數(shù)”，則t的取值范圍為（0，$\frac{1}{12}$）．

Answer 1

分析 根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性，先判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，然后根據(jù)條件建立方程組，轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的存在問題即可得到結(jié)論．

解答 解：若c＞1，則函數(shù)y=c^4x+3t為增函數(shù)，y=log_cx，為增函數(shù)，∴函數(shù)f（x）=log_c（c^4x+3t）為增函數(shù)，
若0＜c＜1，則函數(shù)y=c^4x+3t為減函數(shù)，y=log_cx，為減函數(shù)，∴函數(shù)f（x）=log_c（c^4x+3t）為增函數(shù)，
綜上：函數(shù)f（x）=log_c（c^4x+3t）為增函數(shù)．
若函數(shù)f（x）=log_c（c^4x+3t）（c＞0，c≠1）是“成功函數(shù)”，則
$\left\{\begin{array}{l}{f（a）=2a}\\{f（b）=2b}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{（{c}^{2a}）^{2}-{c}^{2a}+3t=0}\\{（{c}^{2b}）^{2}-{c}^{2b}+3t=0}\end{array}\right.$，
即c^2a，c^2b是方程x²-x+3t=0上的兩個不同的正根，
則$\left\{\begin{array}{l}{（-1）^{2}-12t＞0}\\{3t＞0}\end{array}\right.$，解得0＜t＜$\frac{1}{12}$．
故答案為：（0，$\frac{1}{12}$）．

點評 本題考查函數(shù)的值域，主要考查指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的運算性質(zhì)，判斷函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題．