【題目】已知

（1）求的軌跡

（2）過軌跡上任意一點(diǎn)作圓的切線，設(shè)直線的斜率分別是，試問在三個(gè)斜率都存在且不為0的條件下， 是否是定值，請(qǐng)說明理由，并加以證明.

【答案】（1）（2）見解析

【解析】試題分析：

(1)利用幾何性質(zhì)取得該軌跡方程為橢圓，求得 即可得出該軌跡方程；也可以利用平面向量的結(jié)論結(jié)合坐標(biāo)求解軌跡方程；

(2)利用題意聯(lián)立直線與橢圓的方程，結(jié)合韋達(dá)定理證得是定值即可.

試題解析：

（1）方法一：

如圖因?yàn)?/span>所以四邊形是平行四邊形

所以，

由得

所以的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓易知

所以方程為

方法二：

設(shè)由得

再得

移項(xiàng)

平方化簡(jiǎn)得：

（從發(fā)現(xiàn)是橢圓方程也可以直接得 ，分檔批閱老師自己把握）

（2）設(shè)，過的斜率為的直線為，由直線與圓相切可得

即：

由已知可知是方程（關(guān)于）的兩個(gè)根，

所以由韋達(dá)定理：

兩式相除：

又因?yàn)?/span>所以

代入上式可得： 即： 為一個(gè)定值.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)的最大值為（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），是的導(dǎo)函數(shù)。

（1）求的值；

（2）任取兩個(gè)不等的正數(shù)，且，若存在正數(shù)，使得成立。求證：。

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【題目】已知橢圓C：（）的短軸長(zhǎng)為，離心率為.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)M，N分別為橢圓C的左、右頂點(diǎn)，過點(diǎn)且不與x軸重合的直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)是否存在實(shí)數(shù)t（），使得直線：與直線的交點(diǎn)P滿足P，A，M三點(diǎn)共線？若存在，求出的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.

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【題目】已知函數(shù)，其中，.

（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（Ⅱ）若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某電子設(shè)備工廠生產(chǎn)一種電子元件，質(zhì)量控制工程師要在產(chǎn)品出廠前將次品檢出.估計(jì)這個(gè)廠生產(chǎn)的電子元件的次品率為0.2%，且電子元件是否為次品相互獨(dú)立，一般的檢測(cè)流程是：先把個(gè)電子元件串聯(lián)起來成組進(jìn)行檢驗(yàn)，若檢測(cè)通過，則全部為正品；若檢測(cè)不通過，則至少有一個(gè)次品，再逐一檢測(cè)，直到把所有的次品找出，若檢驗(yàn)一個(gè)電子元件的花費(fèi)為5分錢，檢驗(yàn)一組（個(gè)）電子元件的花費(fèi)為分錢.

（1）當(dāng)時(shí)，估算一組待檢元件中有次品的概率；

（2）設(shè)每個(gè)電子元件檢測(cè)費(fèi)用的期望為，求的表達(dá)式；

（3）試估計(jì)的值，使每個(gè)電子元件的檢測(cè)費(fèi)用的期望最小.（提示：用進(jìn)行估算）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其中為常數(shù)．

（1）若直線是曲線的一條切線，求實(shí)數(shù)的值；

（2）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)．求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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【題目】如圖，三棱柱中，側(cè)面是菱形，其對(duì)角線的交點(diǎn)為，且，.

（1）求證：平面；

（2）設(shè)，若直線與平面所成的角為，求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知四面體的棱長(zhǎng)滿足，，現(xiàn)將四面體放入一個(gè)主視圖為等邊三角形的圓錐中，使得四面體可以在圓錐中任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則圓錐側(cè)面積的最小值為___________.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知，

（1）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)的單調(diào)性；

（2）當(dāng)時(shí)，記的兩個(gè)極值點(diǎn)為，若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的值.

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