【題目】已知
(1)求的軌跡
(2)過軌跡上任意一點(diǎn)作圓的切線,設(shè)直線的斜率分別是,試問在三個(gè)斜率都存在且不為0的條件下, 是否是定值,請(qǐng)說明理由,并加以證明.
【答案】(1)(2)見解析
【解析】試題分析:
(1)利用幾何性質(zhì)取得該軌跡方程為橢圓,求得 即可得出該軌跡方程;也可以利用平面向量的結(jié)論結(jié)合坐標(biāo)求解軌跡方程;
(2)利用題意聯(lián)立直線與橢圓的方程,結(jié)合韋達(dá)定理證得是定值即可.
試題解析:
(1)方法一:
如圖因?yàn)?/span>所以四邊形是平行四邊形
所以,
由得
所以的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓易知
所以方程為
方法二:
設(shè)由得
再得
移項(xiàng)
平方化簡(jiǎn)得:
(從發(fā)現(xiàn)是橢圓方程也可以直接得 ,分檔批閱老師自己把握)
(2)設(shè),過的斜率為的直線為,由直線與圓相切可得
即:
由已知可知是方程(關(guān)于)的兩個(gè)根,
所以由韋達(dá)定理:
兩式相除:
又因?yàn)?/span>所以
代入上式可得: 即: 為一個(gè)定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的最大值為(其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),是的導(dǎo)函數(shù)。
(1)求的值;
(2)任取兩個(gè)不等的正數(shù),且,若存在正數(shù),使得成立。求證:。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C:()的短軸長(zhǎng)為,離心率為.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)M,N分別為橢圓C的左、右頂點(diǎn),過點(diǎn)且不與x軸重合的直線與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn)是否存在實(shí)數(shù)t(),使得直線:與直線的交點(diǎn)P滿足P,A,M三點(diǎn)共線?若存在,求出的方程;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中,.
(Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(Ⅱ)若不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某電子設(shè)備工廠生產(chǎn)一種電子元件,質(zhì)量控制工程師要在產(chǎn)品出廠前將次品檢出.估計(jì)這個(gè)廠生產(chǎn)的電子元件的次品率為0.2%,且電子元件是否為次品相互獨(dú)立,一般的檢測(cè)流程是:先把個(gè)電子元件串聯(lián)起來成組進(jìn)行檢驗(yàn),若檢測(cè)通過,則全部為正品;若檢測(cè)不通過,則至少有一個(gè)次品,再逐一檢測(cè),直到把所有的次品找出,若檢驗(yàn)一個(gè)電子元件的花費(fèi)為5分錢,檢驗(yàn)一組(個(gè))電子元件的花費(fèi)為分錢.
(1)當(dāng)時(shí),估算一組待檢元件中有次品的概率;
(2)設(shè)每個(gè)電子元件檢測(cè)費(fèi)用的期望為,求的表達(dá)式;
(3)試估計(jì)的值,使每個(gè)電子元件的檢測(cè)費(fèi)用的期望最小.(提示:用進(jìn)行估算)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中為常數(shù).
(1)若直線是曲線的一條切線,求實(shí)數(shù)的值;
(2)當(dāng)時(shí),若函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn).求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,三棱柱中,側(cè)面是菱形,其對(duì)角線的交點(diǎn)為,且,.
(1)求證:平面;
(2)設(shè),若直線與平面所成的角為,求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知四面體的棱長(zhǎng)滿足,,現(xiàn)將四面體放入一個(gè)主視圖為等邊三角形的圓錐中,使得四面體可以在圓錐中任意轉(zhuǎn)動(dòng),則圓錐側(cè)面積的最小值為___________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,
(1)當(dāng)時(shí),判斷函數(shù)的單調(diào)性;
(2)當(dāng)時(shí),記的兩個(gè)極值點(diǎn)為,若不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的值.
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