Question

已知在數(shù)列{a_n}中，a₁=3，（n+1）a_n-na_n+1=1，n∈N^*．
（1）證明數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，并求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{

1

(an-1)an

}的前n項(xiàng)和為T_n ，證明：T_n＜

1

3

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）把給出的數(shù)列遞推式變形，得到

an

n

-

an+1

n+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，然后利用累加法求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用等差數(shù)列的定義證明數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列；
（2）把{a_n}的通項(xiàng)公式代入

1

(an-1)an

，放大后列項(xiàng)，然后利用裂項(xiàng)相消法求得數(shù)列{

1

(an-1)an

}的前n項(xiàng)和為T_n ，則結(jié)論得到證明．

解答： 證明：（1）由（n+1）a_n-na_n+1=1，得

an

n

-

an+1

n+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
則

a1

1

-

a2

2

=1-

1

2

，

a2

2

-

a3

3

=

1

2

-

1

3

，
…

an-1

n-1

-

an

n

=

1

n-1

-

1

n

（n≥2）．
累加得：a1-

an

n

=1-

1

n

=

n-1

n

，即a_n=2n+1，
由a_n+1-a_n=2（n+1）+1-2n-1=2為常數(shù)．
∴數(shù)列{a_n}是公差為2的等差數(shù)列；
（2）

1

(an-1)an

=

1

2n(2n+1)

＜

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴Tn＜

1

2×3

+

1

2

[(

1

3

-

1

5

)+(

1

5

-

1

7

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]
=

1

6

+

1

2

(

1

3

-

1

2n+1

)=

1

6

+

1

6

-

1

2(2n+1)

=

1

3

-

1

2(2n+1)

＜

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等差關(guān)系的確定，訓(xùn)練了放縮法證明數(shù)列不等式，是中高檔題．