Question

18．若函數(shù)f（x）滿(mǎn)足：①對(duì)定義域內(nèi)任意x，都有f（x）+f（-x）=0，②對(duì)定義域內(nèi)任意x₁，x₂，且x₁≠x₂，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0，則稱(chēng)函數(shù)f（x）為“優(yōu)美函數(shù)”．下列函數(shù)中是“優(yōu)美函數(shù)”的是（　�。�

• A． f（x）=$\frac{-{e}^{x}+1}{1+{e}^{x}}$
• B． f（x）=ln（1+x）+ln$\frac{1}{-x+1}$
• C． f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2x-1，x＞0}\\{0，x=0}\\{-{x}^{2}+2x+1，x＜0}\end{array}\right.$
• D． f（x）=tan x

Answer 1

分析 由條件知具備函數(shù)是奇函數(shù)，且在定義域上是增函數(shù)的函數(shù)是“優(yōu)美函數(shù)”．結(jié)合函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義分別進(jìn)行判斷即可．

解答 解：由：①對(duì)定義域內(nèi)任意x，都有f（x）+f（-x）=0得f（-x）=-f（x），即函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，
由，②對(duì)定義域內(nèi)任意x₁，x₂，且x₁≠x₂，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0，得函數(shù)在定義域上為增函數(shù)，
A．f（x）=$\frac{-{e}^{x}+1}{1+{e}^{x}}$=$\frac{2-（1+{e}^{x}）}{1+{e}^{x}}$=$\frac{2}{1+{e}^{x}}$-1為減函數(shù)，不滿(mǎn)足條件．
B．由$\left\{\begin{array}{l}{1+x＞0}\\{1-x＞0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x＞-1}\\{x＜1}\end{array}\right.$，得-1＜x＜1，即函數(shù)的定義域?yàn)椋?1，1），
函數(shù)y=ln（1+x）在定義域上是增函數(shù)，y=1-x是減函數(shù)，y=$\frac{1}{-x+1}$是增函數(shù)，則y=ln$\frac{1}{-x+1}$是增函數(shù)，即f（x）=ln（1+x）+ln$\frac{1}{-x+1}$是增函數(shù)，滿(mǎn)足條件．
C．當(dāng)x＞0，則-x＜0，則f（-x）=-x²-2x+1=-（x²+2x-1）=-f（x），則函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，作出函數(shù)f（x）的圖象如圖，則由圖象知函數(shù)在定義域上不單調(diào)，不滿(mǎn)足條件．
D．函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，在定義域上不單調(diào)，不滿(mǎn)足條件．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查新定義的應(yīng)用，根據(jù)條件判斷函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．