Question

13．用數(shù)學(xué)歸納法證明：（1+2+3+…+n）（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$）≥n²．（n∈N⁺）

Answer 1

分析 先驗證n=1時結(jié)論成立，假設(shè)n=k時結(jié)論成立，用n表示出1+2+3+…+k，1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{k}$，代入當(dāng)n=k+1時的式子進行整理即可得出結(jié)論．

解答 證明：當(dāng)n=1時，1×1=1²，結(jié)論顯然成立，
假設(shè)n=k時結(jié)論成立，即（1+2+3+…+k）（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{k}$）≥k²，
∴1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{k}$≥$\frac{{k}^{2}}{1+2+3+…+k}$=$\frac{2k}{k+1}$．
∴（1+2+3+…+k+（k+1））（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{k}$+$\frac{1}{k+1}$）=（1+2+3+…+k）（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{k}$）+（1+2+3+…+k）×$\frac{1}{k+1}$+（k+1）（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{k}$）+1．
≥k²+$\frac{k（k+1）}{2}×\frac{1}{k+1}$+（k+1）×$\frac{2k}{k+1}$+1=k²+$\frac{5k}{2}$+1＞（k+1）²．
∴當(dāng)n=k+1時，結(jié)論成立．
∴（1+2+3+…+n）（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$）≥n²．（n∈N⁺）

點評 本題考查了數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，屬于中檔題．