【題目】已知數(shù)列{an},{bn}滿足:a1=3,當(dāng)n≥2時,an﹣1+an=4n;對于任意的正整數(shù)n,.設(shè){bn}的前n項(xiàng)和為Sn.
(1)求數(shù)列{an}及{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)求滿足13<Sn<14的n的集合.
【答案】(1) an=2n+1;bn=(4n﹣1)()n﹣1;(2) {n|n=1,2或n≥5且n∈N}.
【解析】
(1)求得a2,a3,將an﹣1+an=4n中的n換為n﹣1,相減可得數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)以3為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列,可得an,再將n換為n﹣1,相減可得bn;
(2)運(yùn)用數(shù)列的錯位相減法求和,結(jié)合等比數(shù)列的求和公式,可得Sn,解不等式可得所求集合.
(1)a1=3,當(dāng)n≥2時,an﹣1+an=4n,
可得a1+a2=8,即有a2=5,a2+a3=12,即有a3=7,
由n≥3時,an﹣2+an﹣1=4n﹣4,又an﹣1+an=4n,
相減可得an﹣an﹣2=4,
可得數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)以3為首項(xiàng),4為公差的等差數(shù)列,偶數(shù)項(xiàng)以5為首項(xiàng),4為公差的等差數(shù)列,
則數(shù)列{an}以3為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列,
可得an=3+2(n﹣1)=2n+1;
當(dāng)n=1時,b1=a1=3;
n≥2時,b1+2b2+…+2n﹣2bn﹣1=(n﹣1)an﹣1,又.
相減可得2n﹣1bn=n(2n+1)﹣(n﹣1)(2n﹣1)=4n﹣1,
則bn=(4n﹣1)()n﹣1;
(2)前n項(xiàng)和為Sn=31+711(4n﹣1)()n﹣1,
Sn=3711(4n﹣1)()n,
相減可得Sn=3+4(()n﹣1)﹣(4n﹣1)()n
=3+4(4n﹣1)()n,
化簡可得Sn=14﹣(4n+7)()n﹣1.
13<Sn<14,即為13<14﹣(4n+7)()n﹣1<14,
可得4n﹣7<2n﹣1,
則n=1,2,上式成立;n=3,4,上式不成立;
n≥5且n∈N,上式均成立,
則所求n的集合為{n|n=1,2或n≥5且n∈N}.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在如圖所示的五面體ABCDEF中,AB∥CD,AB=2AD=2,∠ADC=∠BCD=120°,四邊形EDCF是正方形,二面角E﹣DC﹣A的大小為90°.
(1)求證:直線AD⊥平面BDE
(2)求點(diǎn)D到平面ABE的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列說法中,正確的序號是( 。
①“b=2”是“1,b,4成等比數(shù)列”的充要條件;
②“雙曲線與橢圓有共同焦點(diǎn)”是真命題;
③若命題p∨¬q為假命題,則q為真命題;
④命題p:x∈R,x2﹣x+1>0的否定是:x∈R,使得x2﹣x+1≤0.
A.①②B.②③④C.②③D.②④
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【題目】F是雙曲線1(a>0,b>0)的左焦點(diǎn),過點(diǎn)F作雙曲線的一條漸近線的垂線,垂足為A,交另一條漸近線于點(diǎn)B.若3,則此雙曲線的離心率為( 。
A.2B.3C.D.
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【題目】微信運(yùn)動,是由騰訊開發(fā)的一個類似計步數(shù)據(jù)庫的公眾賬號.用戶可以通過關(guān)注微信運(yùn)動公眾號查看自己每天或每月行走的步數(shù),同時也可以和其他用戶進(jìn)行運(yùn)動量的或點(diǎn)贊.加入微信運(yùn)動后,為了讓自己的步數(shù)能領(lǐng)先于朋友,人們運(yùn)動的積極性明顯增強(qiáng),下面是某人2018年1月至2018年11月期間每月跑步的平均里程(單位:十公里)的數(shù)據(jù),繪制了下面的折線圖.
根據(jù)折線圖,下列結(jié)論正確的是( )
A. 月跑步平均里程的中位數(shù)為月份對應(yīng)的里程數(shù)
B. 月跑步平均里程逐月增加
C. 月跑步平均里程高峰期大致在、月
D. 月至月的月跑步平均里程相對于月至月,波動性更小,變化比較平穩(wěn)
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【題目】如圖所示,已知拋物線y2=8x的焦點(diǎn)為F,直線l過點(diǎn)F且依次交拋物線及圓2于A,B,C,D四點(diǎn),則|AB|+4|CD|的最小值為_____.
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【題目】在直角坐標(biāo)系中, 橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),其右焦點(diǎn)為,且點(diǎn) 在橢圓上.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為,是橢圓上異于的任意一點(diǎn),直線交橢圓于另一點(diǎn),直線交直線于點(diǎn), 求證:三點(diǎn)在同一條直線上
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【題目】某商場營銷人員進(jìn)行某商品M市場營銷調(diào)查發(fā)現(xiàn),每回饋消費(fèi)者一定的點(diǎn)數(shù),該商品每天的銷量就會發(fā)生一定的變化,經(jīng)過試點(diǎn)統(tǒng)計得到以如表:
反饋點(diǎn)數(shù)t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
銷量百件天 | 1 |
經(jīng)分析發(fā)現(xiàn),可用線性回歸模型擬合當(dāng)?shù)卦撋唐蜂N量千件與返還點(diǎn)數(shù)t之間的相關(guān)關(guān)系請用最小二乘法求y關(guān)于t的線性回歸方程,并預(yù)測若返回6個點(diǎn)時該商品每天銷量;
若節(jié)日期間營銷部對商品進(jìn)行新一輪調(diào)整已知某地擬購買該商品的消費(fèi)群體十分龐大,經(jīng)營銷調(diào)研機(jī)構(gòu)對其中的200名消費(fèi)者的返點(diǎn)數(shù)額的心理預(yù)期值進(jìn)行了一個抽樣調(diào)查,得到如下一份頻數(shù)表:
返還點(diǎn)數(shù)預(yù)期值區(qū)間 百分比 | ||||||
頻數(shù) | 20 | 60 | 60 | 30 | 20 | 10 |
求這200位擬購買該商品的消費(fèi)者對返點(diǎn)點(diǎn)數(shù)的心理預(yù)期值X的樣本平均數(shù)及中位數(shù)的估計值同一區(qū)間的預(yù)期值可用該區(qū)間的中點(diǎn)值代替;估計值精確到;
將對返點(diǎn)點(diǎn)數(shù)的心理預(yù)期值在和的消費(fèi)者分別定義為“欲望緊縮型”消費(fèi)者和“欲望膨脹型”消費(fèi)者,現(xiàn)采用分層抽樣的方法從位于這兩個區(qū)間的30名消費(fèi)者中隨機(jī)抽取6名,再從這6人中隨機(jī)抽取3名進(jìn)行跟蹤調(diào)查,設(shè)抽出的3人中“欲望膨脹型”消費(fèi)者的人數(shù)為隨機(jī)變量X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.
參考公式及數(shù)據(jù):,;.
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