Question

5．已知三棱錐A-BCD中，AB⊥面BCD，BC⊥CD，AB=BC=CD=2，則三棱錐A-BCD的外接球體積為4$\sqrt{3}π$．

Answer 1

分析 取AD的中點(diǎn)O，連結(jié)OB、OC．由線面垂直的判定與性質(zhì)，證出AB⊥BD且AC⊥CD，得到△ABD與△ACD是具有公共斜邊的直角三角形，從而得出OA=OB=OC=OD=$\frac{1}{2}$AD，所以A、B、C、D四點(diǎn)在以O(shè)為球心的球面上，再根據(jù)題中的數(shù)據(jù)利用勾股定理算出AD長(zhǎng)，即可得到三棱錐A-BCD外接球的半徑大小．

解答 解：取AD的中點(diǎn)O，連結(jié)OB、OC
∵AB⊥平面BCD，CD?平面BCD，∴AB⊥CD，
又∵BC⊥CD，AB∩BC=B，∴CD⊥平面ABC，
∵AC?平面ABC，∴CD⊥AC，
∵OC是Rt△ADC的斜邊上的中線，OC=$\frac{1}{2}$AD．
同理可得：Rt△ABD中，OB=$\frac{1}{2}$AD，
∴OA=OB=OC=OD=$\frac{1}{2}$AD，可得A、B、C、D四點(diǎn)在以O(shè)為球心的球面上．
Rt△ABD中，AB=2且BD=2$\sqrt{2}$，可得AD=$\sqrt{4+8}$=2$\sqrt{3}$，
由此可得球O的半徑R=$\frac{1}{2}$AD=$\sqrt{3}$，
∴三棱錐A-BCD的外接球體積為$\frac{4}{3}π•（\sqrt{3}）^{3}$=4$\sqrt{3}$π．
故答案為：4$\sqrt{3}$π．

點(diǎn)評(píng) 本題已知三棱錐的底面為直角三角形，求三棱錐A-BCD的外接球體積．著重考查了線面垂直的判定與性質(zhì)、勾股定理與球內(nèi)接多面體等知識(shí)，屬于中檔題．