Question

2．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，兩個焦點恰好在圓O：x²+y²=1上，若過橢圓C左焦點F的直線l與圓O的另一個交點為G，線段FG的中點為M，直線MO交橢圓C于A，B兩點，且|AB|=$2\sqrt{2}$|FG|，求直線l的方程．

Answer 1

分析 由題意可得：c=1，$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，a²=b²+c²，聯(lián)立解出可得：橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．設(shè)直線AB的方程為：y=kx（k≠0），由FG⊥AB，F(xiàn)（-1，0），可得直線FG的方程為：y=-$\frac{1}{k}$（x+1），即x+ky+1=0．
圓心O到直線FG的距離d=$\frac{1}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，|FG|=2$\sqrt{1-2qam46q^{2}}$，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，解得x²，y²，可得|AB|²=4（x²+y²），利用∵|AB|=$2\sqrt{2}$|FG|，解出k即可得出．

解答 解：由題意可得：c=1，$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，a²=b²+c²，
聯(lián)立解得a=2，b²=3．
∴橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．設(shè)直線AB的方程為：y=kx（k≠0），
∵FG⊥AB，F(xiàn)（-1，0），∴直線FG的方程為：y=-$\frac{1}{k}$（x+1），即x+ky+1=0．
圓心O到直線FG的距離d=$\frac{1}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，∴|FG|=2$\sqrt{1-kosoyu4^{2}}$=$\frac{2|k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，解得x²=$\frac{12}{3+4{k}^{2}}$，y²=$\frac{12{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$．
∴|AB|²=4（x²+y²）=$\frac{48（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}$，
∵|AB|=$2\sqrt{2}$|FG|，∴$\frac{48（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}$=$\frac{8×4{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$，
解得k=±$\root{4}{\frac{3}{5}}$．
∴直線l的方程為$±\root{4}{\frac{3}{5}}$y+x+1=0．

點評 本題考查了橢圓與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓及其圓相交弦長問題、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．