11.如圖,已知A,B,C是長(zhǎng)軸為4的橢圓E上的三點(diǎn),點(diǎn)A是長(zhǎng)軸的
一個(gè)端點(diǎn),BC過橢圓中心O,且$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BC}$=O,|BC|=2|AC|
(1)求橢圓E的方程. 
(2)設(shè)圓O是以原點(diǎn)為圓心,短軸長(zhǎng)為半徑的園,過橢圓E上異于其頂點(diǎn)的任一點(diǎn)P,作圓O的兩條切線,切點(diǎn)為M,N,若直線MN在x軸,Y軸上的截距分別為m,n,試計(jì)算$\frac{1}{{3{m^2}}}+\frac{1}{n^2}$的值是否為定值?如果,請(qǐng)給予證明;如果不是,請(qǐng)說明理由.

分析 (1)由已知得a,數(shù)形結(jié)合求得C的坐標(biāo),代入橢圓方程求得b,則橢圓方程可求;
(2)設(shè)P(x0,y0),由M,N是切點(diǎn),可知P、M、O、N四點(diǎn)共圓.分別寫出以PO為直徑的圓的方程與圓O的方程,聯(lián)立可得MN所在直線方程求出直線MN在x,y軸上的截距,結(jié)合P在橢圓上可得$\frac{1}{{3{m^2}}}+\frac{1}{n^2}$的值是定值.

解答 解:(1)由已知可得,a=2,設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$.
由已知可得:|OB|=|OC|,又$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BC}$=0,|BC|=|2AC|,
∴C(1,1),把C代入橢圓方程可得:$\frac{1}{4}+\frac{1}{^{2}}=1$,得$^{2}=\frac{4}{3}$,
∴橢圓方程為:$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{3{y}^{2}}{4}=1$;
(2)設(shè)P(x0,y0),由M,N是切點(diǎn),可知P、M、O、N四點(diǎn)共圓.
∴以PO為直徑的圓的方程為:(x-x0)x+(y-y0)y=0,即x2+y2-x0x-y0y=0,①
又圓O的方程為:${x}^{2}+{y}^{2}=\frac{4}{3}$,②
聯(lián)立①②可得MN所在直線方程為:${x}_{0}x+{y}_{0}y=\frac{4}{3}$.
直線MN在x,y軸上的截距分別為:$m=\frac{4}{3{x}_{0}},n=\frac{4}{3{y}_{0}}$.
∴$\frac{1}{{3{m^2}}}+\frac{1}{n^2}$=$\frac{3{{x}_{0}}^{2}+9{{y}_{0}}^{2}}{16}=\frac{3({{x}_{0}}^{2}+3{{y}_{0}}^{2})}{16}$.
又P(x0,y0)在橢圓上,∴$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}+\frac{3{{y}_{0}}^{2}}{4}=1$,即${{x}_{0}}^{2}+3{{y}_{0}}^{2}=4$.
∴$\frac{1}{{3{m^2}}}+\frac{1}{n^2}$=$\frac{3×4}{16}=\frac{3}{4}$.
∴$\frac{1}{{3{m^2}}}+\frac{1}{n^2}$的值是定值.

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì),考查了直線與圓、圓與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用,是中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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已知該項(xiàng)目評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)為:
 男生投擲距離(米)[5.4,6.0)[6.0,6.6)[6.6,7.4)[7.4,7.8)[7.8,8.6)[8.6,10.0)[10.0,+∞)
 
 女生投擲距離(米)
 
[5.1,5.4)[5.4,5.6)[5.6,6.4)[6.4,6.8)[6.8,7.2)[7.2,7.6)[7.6,+∞)
 個(gè)人得分(分) 
 4 5 6 7 8 9 10
注:滿分10分,且得9分以上(含9分)定為“優(yōu)秀”.
(Ⅰ)求上述20名女生得分的中位數(shù)和眾數(shù);
(Ⅱ)從上述20名男生中,隨機(jī)抽取2名,求抽取的2名男生中優(yōu)秀人數(shù)X的分布列;
(Ⅲ)根據(jù)以上樣本數(shù)據(jù)和你所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識(shí),試估計(jì)該年級(jí)學(xué)生實(shí)心球項(xiàng)目的整體情況.(寫出兩個(gè)結(jié)論即可)

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6.設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布表如下:
X1234
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