Question

8．已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱．
（1）證明：函數(shù)f（x）是周期函數(shù)；
（2）若f（$\frac{1}{2}$）=0，求方程f（x）=0在（0，5）內(nèi)解的個(gè)數(shù)的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)奇偶性和對(duì)稱性的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)周期性的定義進(jìn)行證明即可．
（2）根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)周期性，進(jìn)行遞推即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，
∴f（2+x）=f（-x）=-f（x），
即f（x+4）=-f（x+2）=-（-f（x））=f（x），
則函數(shù)f（x）是周期函數(shù)，周期是4；
（2）若f（$\frac{1}{2}$）=0，則f（-$\frac{1}{2}$）=-$f（\frac{1}{2}）=0$，
則f（-$\frac{1}{2}$+4）=f（$\frac{7}{2}$）=f（-$\frac{1}{2}$）=0，
∴f（$\frac{1}{2}+2$）=-f（$\frac{1}{2}$）=0，
即f（$\frac{5}{2}$）=0，
f（-$\frac{1}{2}+2$）=-f（-$\frac{1}{2}$）=0，
即f（$\frac{3}{2}$）=0，
f（$\frac{1}{2}$+4）=f（$\frac{1}{2}$）=0，
即f（$\frac{9}{2}$）=0，
f（$\frac{3}{2}$+2）=-f（$\frac{3}{2}$）=0，即f（$\frac{5}{2}$）=0，
則f（-$\frac{5}{2}$）=f（$\frac{5}{2}$）=0，
∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（0）=0，
則f（0）=f（4）=0，
又f（2+0）=f（-0）=0，則f（2）=0，
綜上在區(qū)間（0，5）內(nèi)，
有f（$\frac{1}{2}$）=0，f（$\frac{3}{2}$）=0，f（$\frac{5}{2}$）=0，f（$\frac{7}{2}$）=0，f（2）=0，f（4）=0，f（$\frac{9}{2}$）=0，至少有7個(gè)解，
即方程f（x）=0在（0，5）內(nèi)解的個(gè)數(shù)的最小值是7．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)根的個(gè)數(shù)的判斷，根據(jù)函數(shù)奇偶性和周期性之間的關(guān)系進(jìn)行遞推是解決本題的關(guān)鍵．