Question

17．在△ABC中，角A，B，C所對的邊為a，b，c．若a=2，$\frac{tanA}{tanB}$=$\frac{4}{3}$，則△ABC面積的最大值為$\frac{7}{4}$．

Answer 1

分析 根據(jù)商的關(guān)系化簡已知的式子，由正弦、余弦定理分別化簡后，結(jié)合條件求出b、c的關(guān)系，由條件和余弦定理求出cosC，由平方關(guān)系求出sinC，代入三角形的面積公式表示出△ABC面積，利用配方法化簡后利用一元二次函數(shù)的性質(zhì)求出△ABC面積的最大值．

解答 解：由$\frac{tanA}{tanB}=\frac{4}{3}$得3tanA=4tanB，則$3•\frac{sinA}{cosA}=4•\frac{sinB}{cosB}$，
∴3sinAcosB=4cosAsinB，則由正弦、余弦定理得，
3a•$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=4b•$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$，
化簡得c²=7a²-7b²，
又a=2，則c²=7（4-b²），則0＜b²＜4，
由余弦定理和條件得，
cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{4+^{2}-7（4-^{2}）}{4b}$=$\frac{2^{2}-6}$，
∴sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\sqrt{1-（\frac{2^{2}-6}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{{-4b}^{4}+25^{2}-36}}$，
∴△ABC面積S=$\frac{1}{2}absinC$=$\frac{1}{2}×2×\frac{\sqrt{{-4b}^{4}+25^{2}-36}}$
=$\sqrt{-4^{4}+25^{2}-36}$=$\sqrt{-4（^{2}-\frac{25}{8}）^{2}+\frac{49}{16}}$，
∵0＜b²＜4，∴當b²=$\frac{25}{8}$時，$\sqrt{-4{（^{2}-\frac{25}{8}）}^{2}+\frac{49}{16}}$有最大值是$\frac{7}{4}$，
則△ABC面積的最大值為$\frac{7}{4}$，
故答案為：$\frac{7}{4}$．

點評 本題考查正弦、余弦定理的綜合應(yīng)用，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，以及一元二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握公式和定理是解題的關(guān)鍵．