Question

20．在上海世界博覽會開展期間，計劃選派部分高二學(xué)生參加宣傳活動，報名參加的學(xué)生需進行測試，共設(shè)4道選擇題，規(guī)定必須答完所有題，且答對一題得1分，答錯一題扣1分，至少得2分才能入選成為宣傳員；甲乙丙三名同學(xué)報名參加測試，他們答對每個題的概率都為$\frac{1}{3}$，且每個人答題相互不受影響．
（1）用隨機變量ξ表示能夠成為宣傳員的人數(shù)，求ξ的數(shù)學(xué)期望與方差；
（2）若學(xué)生甲得分的數(shù)值為隨機變量η，求所得分數(shù)η的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）每個同學(xué)通過測試需得（2分）或（4分），即答對3道或4道試題．利用二項分布概率計算公式即可得出概率．由每個人答題相互不受影響，可得三人是否成為宣傳員是相互獨立事件，又因為每個人成為宣傳員的概率均為$\frac{1}{9}$，故為獨立重復(fù)試驗，又隨機變量ξ表示能夠成為宣傳員的人數(shù)，即3次獨立重復(fù)試驗中發(fā)生ξ次的概率，因此隨即變量ξ滿足二項分布，ξ～B$（3，\frac{1}{9}）$．
（2）所得分數(shù)η的所有取值為-4，-2，0，2，4．利用二項分布列即可得出．

解答 解：（1）每個同學(xué)通過測試需得（2分）或（4分），即答對3道或4道試題．
所以$P=C_4^3{（\frac{1}{3}）^3}×（1-\frac{1}{3}）+{（\frac{1}{3}）^4}=\frac{1}{9}$；
∵每個人答題相互不受影響，∴三人是否成為宣傳員是相互獨立事件，又因為每個人成為宣傳員的概率均為$\frac{1}{9}$，故為獨立重復(fù)試驗，又隨機變量ξ表示能夠成為宣傳員的人數(shù)，即3次獨立重復(fù)試驗中發(fā)生ξ次的概率，∴隨即變量ξ滿足二項分布，$ξ\～B（3，\frac{1}{9}）$，
∴$Eξ=3×\frac{1}{9}=\frac{1}{3}，Dξ=3×\frac{1}{9}×（1-\frac{1}{9}）=\frac{8}{27}$．
（2）所得分數(shù)η的所有取值為-4，-2，0，2，4．
$P（ξ=-4）={（1-\frac{1}{3}）^4}=\frac{16}{81}$，$P（ξ=-2）=C_4^1×\frac{1}{3}×{（1-\frac{1}{3}）^3}=\frac{32}{81}$，$P（ξ=0）=C_4^2×{（\frac{1}{3}）^2}×{（1-\frac{1}{3}）^2}=\frac{24}{81}=\frac{8}{27}$，$P（ξ=2）=C_4^3×{（\frac{1}{3}）^3}×{（1-\frac{1}{3}）^{\;}}=\frac{8}{81}$，$P（ξ=4）={（\frac{1}{3}）^4}=\frac{1}{81}$．

η	-4	-2	0	2	4
P	$\frac{16}{81}$	$\frac{32}{81}$	$\frac{8}{27}$	$\frac{8}{81}$	$\frac{1}{81}$

$Eη=（-4）×\frac{16}{81}+（-2）×\frac{32}{81}+0×\frac{8}{27}+2×\frac{8}{81}+4×\frac{1}{81}=-\frac{4}{3}$．

點評 本題考查了二項分布列的概率計算與數(shù)學(xué)期望，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．