Question

2．已知函數(shù)y=f（x）的定義域為R，當x＜0時，f（x）＞1，且對任意的實數(shù)x、y∈R，等式f（x）f（y）=f（x+y）恒成立．若數(shù)列{a_n}滿足a₁=f（0），且f（a_n+1）=$\frac{1}{{f（-2-{a_n}）}}$（n∈N*），則a₂₀₁₅的值為（　�。�

• A． 4029
• B． 3029
• C． 2249
• D． 2209

Answer 1

分析 因為是選擇題，可用特殊函數(shù)來研究，根據(jù)條件，底數(shù)小于1的指數(shù)函數(shù)符合題意，可令f（x）=（$\frac{1}{2}$）ⁿ，從而很容易地求得則a₁=f（0）=1，再由f（a_n+1）=$\frac{1}{{f（-2-{a_n}）}}$ （n∈N^*），得到a_n+1=a_n+2，由等差數(shù)列的定義求得結(jié)果．

解答 解：根據(jù)題意，不妨設f（x）=（$\frac{1}{2}$）ⁿ，則a₁=f（0）=1，
∵f（a_n+1）=$\frac{1}{{f（-2-{a_n}）}}$ （n∈N^*），（n∈N^*），
∴a_n+1=a_n+2，
∴數(shù)列{a_n}是以1為首項，以2為公差的等差數(shù)列
∴a_n=2n-1
∴a₂₀₁₅=4029
故選：A．

點評 本題主要考查抽象函數(shù)及其應用．抽象函數(shù)是相對于給出具體解析式的函數(shù)來說的，它雖然沒有具體的表達式，但是有一定的對應法則，滿足一定的性質(zhì)，這種對應法則及函數(shù)的相應的性質(zhì)是解決問題的關鍵．對于客觀題不妨靈活處理，進而來提高效率，拓展思路，提高能力．