Question

7．已知函數(shù)f（x）=-x³+bx+a在x=1處的切線斜率為0，
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若方程f（x）=0只有一個(gè)實(shí)根，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算f′（1），求出b的值，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）問題轉(zhuǎn)化為f（x）極大值和極小值均大于0，或者均小于0，得到關(guān)于a的不等式組，解出即可．

解答 解：（1）f'（x）=-3x²+b，又f'（1）=-3+b=0，所以b=3，
f'（x）=-3x²+3，令f'（x）=0，得x=±1，

x	（-∞，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↓	極小值	↑	極大值	↓

所以，f（x）增區(qū)間是（-1，1），減區(qū)間是（-∞，-1），（1，+∞）．
（2）依題意：f（x）極大值和極小值均大于0，或者均小于0，
即：$\left\{\begin{array}{l}f（-1）＞0\\ f（1）＞0\end{array}\right.⇒a＞2$，或$\left\{\begin{array}{l}f（-1）＜0\\ f（1）＜0\end{array}\right.⇒a＜-2$．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．