Question

4．在直角坐標(biāo)系xoy中，點P到兩點$（-2\sqrt{2}，0）$、$（2\sqrt{2}，0）$的距離之和等于6，設(shè)點P的軌跡為曲線C，直線x-my-1=0與曲線C交于A、B兩點．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）若以線段AB為直徑的圓過坐標(biāo)原點，求m的值；
（Ⅲ）當(dāng)實數(shù)m取何值時，△AOB的面積最大，并求出面積的最大值．

Answer 1

分析 （I）利用橢圓的定義即可得出．
（II）設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）．直線方程與橢圓方程聯(lián)立消去x并整理得（m²+9）y²+2my-8=0，判別式△＞0，以線段AB為直徑的圓過坐標(biāo)原點，則$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$，可得x₁x₂+y₁y₂=0．利用根與系數(shù)的關(guān)系代入即可得出．
（III）直線x-my-1=0與x軸相交于點M（1，0），可得S_△OAB=$\frac{1}{2}|{y}_{1}-{y}_{2}|$．利用$|{y}_{1}-{y}_{2}{|}^{2}$=$（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}$及其二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由已知可得，點P的軌跡C是以$（-2\sqrt{2}，0）$、$（2\sqrt{2}，0）$為焦點，長半軸為3的橢圓．
它的短半軸$b=\sqrt{{a^2}-{c^2}}=\sqrt{9-8}=1$，
故曲線C的方程為$\frac{x^2}{9}+{y^2}=1$．
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）．
$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+9{y^2}=9\\ x=my+1\end{array}\right.$，消去x并整理得（m²+9）y²+2my-8=0，
判別式△＞0，∴${y_1}+{y_2}=-\frac{2m}{{{m^2}+9}}$，${y_1}•{y_2}=-\frac{8}{{{m^2}+9}}$．
若以線段AB為直徑的圓過坐標(biāo)原點，則$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$，∴x₁x₂+y₁y₂=0.${x_1}•{x_2}=（m{y_1}+1）（m{y_2}+1）={m^2}•{y_1}{y_2}+m•（{y_1}+{y_2}）+1$，${x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}=（{m^2}+1）•{y_1}{y_2}+m•（{y_1}+{y_2}）+1=（{m^2}+1）•（-\frac{8}{{{m^2}+9}}）+m•（-\frac{2m}{{{m^2}+9}}）+1$．
∴$（{m^2}+1）•（-\frac{8}{{{m^2}+9}}）+m•（-\frac{2m}{{{m^2}+9}}）+1=0$$⇒-8（{m^2}+1）-2{m^2}+（{m^2}+9）=0⇒-9{m^2}+1=0⇒m=±\frac{1}{3}$．
（III）直線x-my-1=0與x軸相交于點M（1，0），∴S_△OAB=$\frac{1}{2}|{y}_{1}-{y}_{2}|$．
∴$|{y}_{1}-{y}_{2}{|}^{2}$=$（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}$=$（-\frac{2m}{{m}^{2}+9}）^{2}$-4×$\frac{-8}{{m}^{2}+9}$=$\frac{36（{m}^{2}+8）}{（{m}^{2}+9）^{2}}$=$36[-（\frac{1}{{m}^{2}+9}）^{2}+\frac{1}{{m}^{2}+9}]$，令$\frac{1}{{m}^{2}+9}$=t∈$（0，\frac{1}{9}]$，
則$|{y}_{1}-{y}_{2}{|}^{2}$=36$[-（t-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{1}{4}]$，當(dāng)t=$\frac{1}{9}$時，$|{y}_{1}-{y}_{2}{|}^{2}$取得最大值$\frac{36×8}{81}$，∴|y₁-y₂|的最大值為$\frac{4\sqrt{2}}{3}$．
∴△AOB的面積的最大值為：$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．由$\frac{1}{{m}^{2}+9}=\frac{1}{9}$，解得m=0．
即m=0時，△AOB的面積的最大值為：$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

點評 本題考查了橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交弦長公式、二次函數(shù)的單調(diào)性、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．