Question

19．在△ABC中，設(shè)$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow$，$\overrightarrow{CA}$=$\overrightarrow{c}$，若$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=$\overrightarrow$•$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow{a}$，求證：△ABC是等邊三角形．

Answer 1

分析 可取BC邊的中點(diǎn)D，并連接AD，根據(jù)$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=\overrightarrow•\overrightarrow{c}$便可得出$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}）⊥\overrightarrow$，從而便可得出$\overrightarrow{AD}⊥\overrightarrow{BC}$，即得到AD⊥BC，從而AD是高線也是中線，從而得出AB=AC，而同理可得AB=BC，這便可得出△ABC為等邊三角形．

解答 證明：如圖，取BC中點(diǎn)D，連接AD；
∵$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=\overrightarrow•\overrightarrow{c}$；
∴$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}）•\overrightarrow=0$；
∴$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}）⊥\overrightarrow$；
$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow=\overrightarrow{BC}$；
∴$\overrightarrow{AD}⊥\overrightarrow{BC}$；
即AD⊥BC；
∴AB=AC；
同理得AB=BC；
∴AB=AC=BC；
∴△ABC是等邊三角形．

點(diǎn)評(píng) 考查向量數(shù)量積的運(yùn)算，向量垂直的充要條件，以及向量加法的平行四邊形法則，等腰三角形的中線也是高線．