Question

10．已知⊙O：x²+y²=1，若直線y=$\sqrt{k}$x+2上總存在點(diǎn)P，使得過(guò)點(diǎn)P的⊙O的兩條切線互相垂直，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（　　）

• A． k≥1
• B． k＞1
• C． k≥2
• D． k＞2

Answer 1

分析 由切線的對(duì)稱(chēng)性和圓的知識(shí)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為O（0，0）到直線y=$\sqrt{k}$x+2的距離小于或等于$\sqrt{2}$，再由點(diǎn)到直線的距離公式得到關(guān)于k的不等式求解．

解答 解：⊙O：x²+y²=1的圓心為：（0，0），半徑為1，
∵y=$\sqrt{k}$x+2上存在一點(diǎn)P，使得過(guò)P的圓O的兩條切線互相垂直，
∴在直線上存在一點(diǎn)P，使得P到O（0，0）的距離等于$\sqrt{2}$，
∴只需O（0，0）到直線y=$\sqrt{k}$x+2的距離小于或等于$\sqrt{2}$，
故$\frac{|2|}{\sqrt{k+1}}≤\sqrt{2}$，解得k≥1，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線和圓的位置關(guān)系，由題意得到圓心到直線的距離小于或等于$\sqrt{2}$是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬中檔題．