Question

5．在平面直角坐標系xOy中，已知經(jīng)過原點O的直線l與圓C：x²+y²-4x-1=0交于A，B兩點．
（Ⅰ）若直線m：ax-2y+a+2=0（a＞0）與圓C相切，切點為B，求直線l的方程；
（Ⅱ）若圓C與x軸的正半軸的交點為D，求△ABD面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由點到直線的距離公式求出a值，得到直線m的方程，再聯(lián)立直線方程與圓的方程，求得B的坐標，進一步求得直線l的方程；
（Ⅱ）設A，B兩點的縱坐標分別為y₁，y₂，由圓的方程求出D的坐標，設出AB所在直線方程，聯(lián)立直線方程與圓的方程，化為關于y的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關系求出A，B兩點縱坐標差的絕對值，代入三角形面積公式，換元后利用基本不等式求得最值．

解答 解：（Ⅰ）由圓C：x²+y²-4x-1=0，得（x-2）²+y²=5，
∴圓心坐標為（2，0），半徑為$\sqrt{5}$．
直線m與圓C相切，得$\frac{|3a+2|}{\sqrt{{a}^{2}+4}}=\sqrt{5}$，
化簡得：a²+3a-4=0，解得a=1或a=-4，
由于a＞0，故a=1，
∴直線m：x-2y+3=0．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+3=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}-4x-1=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$．
故直線m與圓相切于點B（1，2），得l：y=2x；
（Ⅱ）設A，B兩點的縱坐標分別為y₁，y₂，
求得圓C與x軸正半軸交點D（$2+\sqrt{5}$，0），
則${S}_{△ABD}=\frac{1}{2}（2+\sqrt{5}）（|{y}_{1}|+|{y}_{2}|）$=$\frac{1}{2}（2+\sqrt{5}）|{y}_{1}-{y}_{2}|$，
設AB方程為x=ty，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=ty}\\{{x}^{2}+{y}^{2}-4x-1=0}\end{array}\right.$，消元得（t²+1）y²-4ty-1=0，
$|{y}_{1}-{y}_{2}|=\frac{\sqrt{△}}{1+{t}^{2}}$=$\frac{\sqrt{20{t}^{2}+4}}{1+{t}^{2}}=2\sqrt{\frac{5{t}^{2}+1}{（{t}^{2}+1）^{2}}}$．
設m=5t²+1，
則$|{{y_1}-{y_2}}|=2\sqrt{\frac{25m}{{{m^2}+8m+16}}}=2\sqrt{\frac{25}{{m+8+\frac{16}{m}}}}$$≤\frac{5}{2}$，當且僅當m=4時取等號．
故△ABD面積最大值為$\frac{5}{4}（2+\sqrt{5}）$．

點評 本題考查圓的切線方程，考查了點到直線距離公式的應用，考查直線與圓位置關系的應用，體現(xiàn)了數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．