Question

20．已知函數(shù)f（x）=e^-x+$\frac{nx}{mx+n}$．
（1）若m=0，n=1，求函數(shù)f（x）的最小值；
（2）若m＞0，n＞0，f（x）在[0，+∞）上的最小值為1，求$\frac{m}{n}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，取得函數(shù)的單調(diào)性，即可求函數(shù)f（x）的最小值；
（2）確定f′（x）=-e^-x+$\frac{{n}^{2}}{（mx+n）^{2}}$≥0在[0，+∞）上恒成立，設(shè)$\frac{m}{n}$=t，則$\frac{1}{tx+1}$≥${e}^{-\frac{x}{2}}$在[0，+∞）上恒成立，tx+1≤${e}^{\frac{x}{2}}$在[0，+∞）上恒成立，由此即可求$\frac{m}{n}$的最大值．

解答 解：（1）若m=0，n=1，f（x）=e^-x+x，
∴f′（x）=-e^-x+1，
∴x＜0時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減；x＞0時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，
∴x=0時(shí)，函數(shù)取得極小值，也是最小值為1；
（2）∵f（x）=e^-x+$\frac{nx}{mx+n}$，
∴f′（x）=-e^-x+$\frac{{n}^{2}}{（mx+n）^{2}}$，
∵f（x）在[0，+∞）上的最小值為1，f（0）=1，
∴f′（x）=-e^-x+$\frac{{n}^{2}}{（mx+n）^{2}}$≥0在[0，+∞）上恒成立，
∴$\frac{n}{mx+n}$≥${e}^{-\frac{x}{2}}$在[0，+∞）上恒成立，
設(shè)$\frac{m}{n}$=t，則$\frac{1}{tx+1}$≥${e}^{-\frac{x}{2}}$在[0，+∞）上恒成立，
∴tx+1≤${e}^{\frac{x}{2}}$在[0，+∞）上恒成立
令g（x）=tx+1-${e}^{\frac{x}{2}}$，g′（x）=t-$\frac{1}{2}$${e}^{\frac{x}{2}}$，
∴函數(shù)在[0，2ln2t）上單調(diào)遞減，[2ln2t，+∞）上單調(diào)遞增，
∴x=2ln2t時(shí)，g（x）_min=2tln2t+1-2t，
∴2tln2t+1-2t≤0，
∵2t=1，2tln2t+1-2t=0，2t＜1，2tln2t+1-2t＜0，2t＞1，2tln2t+1-2t＞0，
∴2t≤1，∴t≤$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{m}{n}$的最大值為$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查恒成立問題，考查函數(shù)的最小值，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．