Question

5．求證：對一切正整數(shù)n，都有：$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{n+n}$＜$\frac{7}{10}$．

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)y=$\frac{1}{x}$，利用函數(shù)在（0，+∞）是凹函數(shù)，由圖象結(jié)合曲邊梯形的面積表示得到證明．

解答 證明：構(gòu)造函數(shù)y=$\frac{1}{x}$，因為此函數(shù)在（0，+∞）
是凹函數(shù)，由圖象可知，
在區(qū)間[n，2n]上的n個矩形的面積之和小于曲邊梯形的面積，
所以$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{2n}$＜${∫}_{n}^{2n}$$\frac{1}{x}$dx
=lnx|${\;}_{n}^{2n}$=ln2n-lnn=ln2≈0.6931＜$\frac{7}{10}$．
則對一切正整數(shù)n，都有：$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{n+n}$＜$\frac{7}{10}$．

點評 本題考查了不等式的證明，注意采用定積分的幾何意義證明，通過面積關(guān)系證明，屬于難題．