Question

設函數(shù)是定義在R上的增函數(shù)且f（x）≠0，對于任意x₁，x₂∈R都有f（x₁+x₂）=f（x₁）•f（x₂）
（1）求證：f（x）＞0；
（2）求證：f（x₁-x₂）=

f(x1)

f(x2)

；
（3）若f（1）=2，解不等式f（3x）＞4f（x）．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）令x₁=x₂，便得到f(2x2)=f2(x2)＞0，所以得到f（x）＞0；
（2）根據(jù)已知條件得f（x₁-x₂）=f（x₁）f（-x₂），所以需要求f（-x₂），令x₁=x₂，會得到f（0）=f（x₂）f（-x₂），所以要求f（0），令x₁=x₂=0便得到f（0）=1，所以求得f（-x₂）=

1

f(x2)

，這樣本問便證出來了；
（3）由f（1）=2，4f（x）=2f（1）f（x）=2f（1+x）=f（1）f（1+x）=f（2+x），所以原不等式變成：f（3x）＞f（2+x），根據(jù)f（x）的單調(diào)性即可解出該不等式．

解答： 解：（1）證：取x₁=x₂則：f（2x₂）=f²（x₂），∵f（x）≠0，∴f²（x₂）＞0，即f（2x₂）＞0；
∵x₂是任取的，即R上任意的實數(shù)，∴任意的x∈R，f（x）＞0；
（2）證：取x₁=x₂=0得：f（0）=f²（0），∵f（0）≠0，∴f（0）=1；
取x₁=-x₂，則f（0）=f（-x₂）f（x₂）=1，∴f(-x2)=

1

f(x2)

；
∴f（x₁-x₂）=f(x1)f(-x2)=

f(x1)

f(x2)

；
（3）∵f（1）=2，∴2f（1）=4；
∴4f（x）=2f（1）f（x）=2f（1+x）=f（1）f（1+x）=f（2+x）；
∴不等式f（3x）＞4f（x）變成：f（3x）＞f（2+x）；
∵f（x）是R上的增函數(shù)，∴3x＞2+x，解得x＞1；
∴原不等式的解集為（1，+∞）．

點評：考查應用條件：f（x₁+x₂）=f（x₁）f（x₂）的能力，以及根據(jù)函數(shù)單調(diào)性解不等式的方法．