Question

14．若直線y=kx與橢圓$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1交于A，B兩點，在直線x+y-3=0上存在點C，使得△ABC為等邊三角形，則k=-1或0．

Answer 1

分析 先找到AB中垂線與直線x+y-3=0的交點，保證△ABC為等腰三角形，再滿足|CO|=$\sqrt{3}$|AO|，即可保證△ABC為等邊三角形，此外，注意對于特殊情形的討論．

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁），則B（-x₁，-y₁），
當直線AB的斜率為0時，AB的垂直平分線就是y軸，
y軸與直線x+y-3=0的交點為C（0，3），
又因為|AB|=2$\sqrt{3}$，|CO|=3，所以∠CAO=60°，
所以△ABC是等邊三角形，所以k=0滿足條件； 
當直線AB的斜率存在且不為0時，AB的方程為y=kx，
所以$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1}\\{y=kx}\end{array}\right.$，化簡得（3k²+1）x²=3，
所以|x₁|=$\sqrt{\frac{3}{3{k}^{2}+1}}$，則|AO|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{\frac{3}{3{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{\frac{3{k}^{2}+3}{3{k}^{2}+1}}$，
設(shè)AB的垂直平分線為y=-$\frac{1}{k}x$，它與直線x+y-3=0的交點記為C（x₀，y₀），
所以$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+3}\\{y=-\frac{1}{k}x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=\frac{3k}{k-1}}\\{{y}_{0}=\frac{-3}{k-1}}\end{array}\right.$，則|CO|=$\sqrt{\frac{9{k}^{2}+9}{（{k}^{2}-1）^{2}}}$，
因為△ABC為等邊三角形，所以應有|CO|=$\sqrt{3}|AO|$．
代入得到$\sqrt{\frac{9{k}^{2}+9}{（k-1）^{2}}}$=$\sqrt{3}•\sqrt{\frac{3{k}^{2}+3}{3{k}^{2}+1}}$，解得k=0（舍），k=-1．
綜上可知，k-0 或k=-1．

點評 本題考可直線的斜率的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意橢圓性質(zhì)、分類討論思想的合理運用．