Question

19．已知sin（α+$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{3}$，且α為三角形一內(nèi)角，則cos（α+$\frac{π}{6}$）的值等于$\frac{-2\sqrt{6}+1}{6}$．

Answer 1

分析 由α的范圍求出α+$\frac{π}{3}$的范圍，由平方關(guān)系和三角函數(shù)值的范圍求出cos（α+$\frac{π}{3}$），利用兩角差的余弦公式分別求出cos（α+$\frac{π}{6}$）的值．

解答 解：由sin（α+$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{3}$得，cos（α+$\frac{π}{3}$）=±$\sqrt{1-（\frac{1}{3}）^{2}}$=±$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
因?yàn)?＜α＜π，所以$\frac{π}{3}$＜α+$\frac{π}{3}$＜$\frac{4π}{3}$，
所以cos（α+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
則cos（α+$\frac{π}{6}$）=cos[（α+$\frac{π}{3}$）-$\frac{π}{6}$]
=cos（α+$\frac{π}{3}$）cos$\frac{π}{6}$+sin（α+$\frac{π}{3}$）sin$\frac{π}{6}$
=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}$=$\frac{-2\sqrt{6}+1}{6}$，
故答案為：$\frac{-2\sqrt{6}+1}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，兩角差的余弦公式的靈活應(yīng)用，注意三角函數(shù)值的范圍以及角之間的關(guān)系．