13．如圖，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，點M、N分別為邊BC，CD上的動點，且MN=2，則$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$的最小值是（　　）
A．13B．15C．17D．19

分析 建立坐標系，設CM=x，則CN=$\sqrt{4-{x}^{2}}$，求出M，N的坐標，得出$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$關于x的函數(shù)f（x），求出f（x）的最小值即可．

解答 解：以AB，AD為坐標軸建立平面直角坐標系，
設CM=x，則CN=$\sqrt{M{N}^{2}-{x}^{2}}=\sqrt{4-{x}^{2}}$（0≤x≤2）．
∴M（3，4-x，）N（3-$\sqrt{4-{x}^{2}}$，4）．
∴$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$=3（3-$\sqrt{4-{x}^{2}}$）+4（4-x）=25-4x-3$\sqrt{4-{x}^{2}}$．
令f（x）=25-4x-3$\sqrt{4-{x}^{2}}$，則f′（x）=-4+$\frac{3x}{\sqrt{4-{x}^{2}}}$．
令f′（x）=0，解得x=$\frac{8}{5}$．
當0≤x$＜\frac{8}{5}$時，f′（x）＜0，當$\frac{8}{5}＜x$＜2時，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，$\frac{8}{5}$）上單調遞減，在（$\frac{8}{5}$，2）上單調遞增，
∵f（0）=19，f（$\frac{8}{5}$）=15，f（2）=17．
∴fmin（x）=f（$\frac{8}{5}$）=15．
故選：B．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積運算，函數(shù)的單調性與最值，屬于中檔題．

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②當n=2k+1（k=1，2，3…）時，cn=k；
③當n=2k+1-1（k=1，2，3…）時，cn=k．

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