Question

20．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，已知a₁=1，S_n+1=4a_n+2（n∈N⁺）．
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）設(shè)b_n=a_n+1-2a_n，求證：{b_n}是等比數(shù)列，并求{b_n}的通項公式．

Answer 1

分析 （1）a₁=1，S_n+1=4a_n+2，分別代值求出a₂，a₃，a₄；
（2）S_n+1=4a_n+2，S_n+2=4a_n+1+2，得到a_n+2-2a_n+1=2（a_n+1-2a_n），即b_n+1=2b_n，得到{b_n}是公比為2的等比數(shù)列，而b₁=a₂-2a₁=3即可求出通項公式．

解答 解：（1）由已知得  S₂=4a₁+2，a₁=1，
∴a₁+a₂=4a₁+2，
∴a₂=5    
同理：a₁+a₂+a₃=4a₂+2，
∴a₃=16，
a₁+a₂+a₃+a₄=4a₃+2，
∴a₄=44，
（2）S_n+1=4a_n+2，S_n+2=4a_n+1+2，
∴又a_n+2=S_n+2-S_n+1=4a_n+1+2-（4a_n+2）=4a_n+1-4a_n，
∴a_n+2-2a_n+1=2（a_n+1-2a_n），
∵b_n=a_n+1-2a_n，
∴b_n+1=2b_n，
∴{b_n}是公比為2的等比數(shù)列，
而b₁=a₂-2a₁=3，
∴b_n=3•2^n-1，n∈N⁺．

點評 本題考查數(shù)列的通項公式的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意構(gòu)造法的合理運用，屬于中檔題，