Question

試在雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左焦點(diǎn)F₁作一直線垂直于一條漸近線，垂足為B，另一條漸近線交于點(diǎn)C，若

F1B

=

1

2

F1C

，則雙曲線的離心率是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)出雙曲線的左焦點(diǎn)的坐標(biāo)和雙曲線的漸近線方程，由兩直線垂直的條件，設(shè)出直線BC的方程，由兩直線聯(lián)立方程，分別求得交點(diǎn)B，C的坐標(biāo)，再由

F1B

=

1

2

F1C

，可得B為F₁C的中點(diǎn)，再由中點(diǎn)坐標(biāo)公式和離心率公式，即可求得離心率．

解答： 解：設(shè)左焦點(diǎn)為（-c，0），
雙曲線的漸近線方程為y=±

b

a

x，
則直線BC：y=

a

b

（x+c），
由

y=- b a x y= a b (x+c)

解得B（-

a2

c

，

ab

c

），
由

y= b a x y= a b (x+c)

解得C（

ca2

b2-a2

，

abc

b2-a2

）．
由

F1B

=

1

2

F1C

，可得B為F₁C的中點(diǎn)，
則有-

2a2

c

=-c+

ca2

b2-a2

，由b²=a²-c²，
e=

c

a

，化簡可得，c⁴-5c²a²+a⁴=0，
即有e⁴-5e²+4=0，解得，e=2．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查向量共線的坐標(biāo)表示，考查化簡整理的能力，屬于中檔題．