Question

1．一個袋中有大小相同的標(biāo)有1，2，3，4，5，6的6個小球，某人做如下游戲，每次從袋中拿一個球（拿后放回），記下標(biāo)號，若拿出球的標(biāo)號是3的倍數(shù)，則得1分，否則得0分．
（1）求拿4次恰好得2分的概率；
（2）求拿4次所得分?jǐn)?shù)ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）由已知得該人每次拿一個球得1分的概率p₁=$\frac{1}{3}$，從而能求出拿4次恰好得2分的概率．
（2）由題意ξ的可能取值為0，1，2，3，4，且ξ～B（4，$\frac{1}{3}$），由此能求出ξ的分布列和E（ξ）．

解答 解：（1）∵一個袋中有大小相同的標(biāo)有1，2，3，4，5，6的6個小球，
某人做如下游戲，每次從袋中拿一個球（拿后放回），記下標(biāo)號，若拿出球的標(biāo)號是3的倍數(shù)，則得1分，否則得0分，
∴該人每次拿一個球得1分的概率p₁=$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$，
∴拿4次恰好得2分的概率p=${C}_{4}^{2}（\frac{1}{3}）^{2}（\frac{2}{3}）^{2}$=$\frac{8}{27}$．
（2）由題意ξ的可能取值為0，1，2，3，4，且ξ～B（4，$\frac{1}{3}$），
P（ξ=0）=${C}_{4}^{0}（\frac{2}{3}）^{4}$=$\frac{16}{81}$，
P（ξ=1）=${C}_{4}^{1}（\frac{1}{3}）（\frac{2}{3}）^{3}$=$\frac{32}{81}$，
P（ξ=2）=${C}_{4}^{2}（\frac{1}{3}）^{2}（\frac{2}{3}）^{2}$=$\frac{24}{81}$，
P（ξ=3）=${C}_{4}^{3}（\frac{1}{3}）^{3}（\frac{2}{3}）$=$\frac{8}{81}$，
P（ξ=4）=${C}_{4}^{4}（\frac{1}{3}）^{4}$=$\frac{1}{81}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3	4
P	$\frac{16}{81}$	$\frac{32}{81}$	$\frac{24}{81}$	$\frac{8}{81}$	$\frac{1}{81}$

E（ξ）=$0×\frac{16}{81}+1×\frac{32}{81}+2×\frac{24}{81}+3×\frac{8}{81}+4×\frac{1}{81}$=$\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，是中檔題．在歷年高考中都是必考題型．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意概率和排列組合知識的靈活運(yùn)用．