Question

10．已知f（x）=2xlnx+x²-ax+3．
（1）若x=1是函數(shù)y=f（x）的極值點(diǎn)，求a的值；
（2）對一切x∈（0，+∞），f（x）≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求導(dǎo)，再代值計(jì)算即可．
（2）先分離參數(shù)，再用導(dǎo)數(shù)法，求出相應(yīng)函數(shù)的最值，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：∵f（x）=2xlnx+x²-ax+3，
∴f′（x）=2（1+lnx）+2x-a，
∵x=1是函數(shù)y=f（x）的極值點(diǎn)，
∴f′（1）=2（1+ln1）+2-a=0，解得a=4，
（2）∵對一切x∈（0，+∞），f（x）≥0恒成立，
∴2xlnx+x²-ax+3≥0，
即a≤2lnx+x+$\frac{3}{x}$，在（0，+∞）上恒成立，
設(shè)g（x）=2lnx+x+$\frac{3}{x}$，
則g′（x）=$\frac{2}{x}$-$\frac{3}{{x}^{2}}$+1=$\frac{{x}^{2}+2x-3}{{x}^{2}}$，
令g′（x）=0，解得x=1，
當(dāng)g′（x）＞0時(shí)，即x＞1時(shí)，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)g′（x）＜0時(shí)，即0＜x＜1時(shí)，函數(shù)g（x）單調(diào)遞減，
∴g（x）_min=g（1）=4，
∴a≤4，
故a的取值范圍為（-∞，4]．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查恒成立問題，考查函數(shù)的最值，屬于中檔題．