20.已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的首項a1=2,Sn為其前n項和,且2S3=5S1+3S2
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設(shè)bn=log2an,cn=$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$,記數(shù)列{cn}的前n項和Tn,求$\frac{{T}_{n}}{n+4}$的最大值.

分析 (1)由等比數(shù)列的通項公式可知:2(a1+a1•q+a1•q2)=5a1+2((a1+a1•q),即可求得q=2,求得數(shù)列{an}的通項公式;
(2)由(1)可知:bn=log2an=n,cn=$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{n(n+1)}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$,采用“裂項法”即可求得數(shù)列{cn}的前n項和Tn,由$\frac{T_n}{n+4}=\frac{n}{(n+1)(n+4)}$=$\frac{n}{{n}^{2}+5n+4}$=$\frac{1}{n+\frac{4}{n}+5}$,由基本不等式的性質(zhì)即可求得$\frac{{T}_{n}}{n+4}$的最大值.

解答 解:(1)∵2S3=5S1+3S2
∴2(a1+a1•q+a1•q2)=5a1+2((a1+a1•q),…(1分)
整理得:2q2-q-6=0 …(2分)
解得:q=2或q=-$\frac{3}{2}$  …(3分)
∵數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),
∴q=-$\frac{3}{2}$不合題意…(4分)
∴{an}的通項公式為:an=2n;…(5分)
(2)由(1)可知:bn=log2an=n,…(6分)
∴cn=$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{n(n+1)}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$,…(7分)
∴數(shù)列{cn}的前n項和Tn=c1+c2+…+cn,
=(1-$\frac{1}{2}$)+($\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$)+…+(-$\frac{1}{n+1}$),
=1-$\frac{1}{n+1}$,
=$\frac{n}{n+1}$  …(8分)
$\frac{T_n}{n+4}=\frac{n}{(n+1)(n+4)}$=$\frac{n}{{n}^{2}+5n+4}$=$\frac{1}{n+\frac{4}{n}+5}$,…(9分)
∵n+$\frac{4}{n}$+5≥2$\sqrt{n•\frac{4}{n}}$+5=9,當(dāng)且僅當(dāng)n=$\frac{4}{n}$,即n=2時等號成立…(10分)
∴$\frac{1}{n+\frac{4}{n}+5}$≤$\frac{1}{9}$ …(11分)
 $\frac{T_n}{n+4}$的最大值是$\frac{1}{9}$.…(12分)

點評 本題考查等比數(shù)列的通項公式及性質(zhì),考查“裂項法”求數(shù)列的前n項和,基本不等式的應(yīng)用,考查計算能力,屬于中檔題.

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