Question

已知函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，-

π

2

＜φ＜

π

2

）的圖象與x軸交點為（-

π

6

，0），相鄰最高點坐標為（

π

12

，1）．
（1）求函數f（x）的表達式；
（2）求函數h（x）=log 

1

2

f（x）的單調增區(qū)間；
（3）若不等式|f（x）-m|＜2在x∈[0，

π

2

]上恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,正弦函數的圖象

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（1）先求A，ω，φ的值，即可求函數f（x）的表達式；
（2）由復合函數的單調性及定義域可求h（x）=log 

1

2

f（x）的單調增區(qū)間，即可求h（x）=log 

1

2

f（x）的單調增區(qū)間；
（3）由已知可得：a-2＜f（x）_min，a+2＞f（x）_max，而x∈[0，

π

2

]時-

3

2

≤f（x）≤1，可求實數m的取值范圍．

解答： 解：（1）函數的最大值為1，則A=1  
函數f（x）的周期為T=4×(

π

12

+

π

6

)=π，而T=

2π

ω

，則ω=2，
又x=

π

12

時，y=1，而-

π

2

＜φ＜

π

2

，則φ=

π

3

，
∴函數f（x）的表達式為f（x）=sin（2x+

π

3

）．
（2）由復合函數的單調性及定義域可求h（x）=log 

1

2

f（x）的單調增區(qū)間：由2kπ+

π

2

＜2x+

π

3

＜2kπ+π得kπ+

π

12

＜x＜kπ+

π

3

，k∈Z，
所以h（x）=log 

1

2

f（x）的單調增區(qū)間為（kπ+

π

12

，kπ+

π

3

），k∈Z．
（3）-2＜f（x）-a＜2在[0，

π

2

）上恒成立即a-2＜f（x），a+2＞f（x）恒成立，故a-2＜f（x）_min，a+2＞f（x）_max，而x∈[0，

π

2

]時-

3

2

≤f（x）≤1，可得-1＜a＜2-

3

2

．

點評：本題主要考察了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，正弦函數的圖象和性質，函數值域的求法，屬于基本知識的考察．