Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足a_n+2S_n•S_n-1=0（n≥2，且n∈N），a₁=

1

2

．
（1）求證：{

1

Sn

}是等差數(shù)列；
（2）若b_n=S_n•S_n+1，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，由于滿足a_n+2S_n•S_n-1=0（n≥2，且n∈N），可得S_n-S_n-1+2S_nS_n-1=0，兩邊同除以S_nS_n-1，化為

1

Sn

-

1

Sn-1

=2，即可證明；
（2）由（1）可得

1

Sn

=2+2（n-1）=2n，Sn=

1

2n

．可得b_n=S_n•S_n+1=

1

4n(n+1)

=

1

4

(

1

n

-

1

n+1

)．利用“裂項(xiàng)求和”即可得出．

解答： （1）證明：當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，
∵滿足a_n+2S_n•S_n-1=0（n≥2，且n∈N），
∴S_n-S_n-1+2S_nS_n-1=0，
化為

1

Sn

-

1

Sn-1

=2，

1

S1

=

1

a1

=2，
∴{

1

Sn

}是等差數(shù)列．
（2）解：由（1）可得

1

Sn

=2+2（n-1）=2n，
∴Sn=

1

2n

．
∴b_n=S_n•S_n+1=

1

4n(n+1)

=

1

4

(

1

n

-

1

n+1

)．
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n=

1

4

[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]
=

1

4

(1-

1

n+1

)
=

n

4(n+1)

．

點(diǎn)評：本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、“裂項(xiàng)求和”方法、遞推式的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．