Question

18．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知acosBcosC+bcosAcosC=$\frac{c}{2}$．
（1）求角C；
（2）若c=$\sqrt{7}$，a+b=5，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）由已知及正弦定理，兩角和的正弦函數(shù)公式，三角形內(nèi)角和定理化簡(jiǎn)已知可得$cosC=\frac{1}{2}$，結(jié)合C的范圍，即可得解C的值．
（2）由已知及余弦定理得ab=6，利用三角形面積公式即可計(jì)算得解．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）由已知及正弦定理得，$cosC（sinAcosB+cosAsinB）=\frac{1}{2}sinC$，
即2cosCsin（A+B）=sinC．
故2cosCsinC=sinC，
可得$cosC=\frac{1}{2}$，
因?yàn)椋篊∈（0，π），
所以$C=\frac{π}{3}$．…（6分）
（2）由已知及余弦定理得，a²+b²-2abcosC=7，
又$a+b=5，C=\frac{π}{3}$，
故a²+b²-ab=（a+b）²-3ab=25-3ab=7，
因此，ab=6，
所以△ABC的面積$S=\frac{1}{2}absinC=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理，兩角和的正弦函數(shù)公式，三角形內(nèi)角和定理，余弦定理，三角形面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．