Question

17．已知f（x）=（x-a）²+4ln（x+1）的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與y軸垂直．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；             
（2）求出f（x）的所有極值．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，利用f（x）=（x-a）²+4ln（x+1）的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與y軸垂直，可得f′（1）=2（1-a）+2=0，即可求實(shí)數(shù)a的值；             
（2）確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求出f（x）的所有極值．

解答 解：（1）∵f（x）=（x-a）²+4ln（x+1），
∴f′（x）=2（x-a）+$\frac{4}{x+1}$，
∵f（x）=（x-a）²+4ln（x+1）的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與y軸垂直，
∴f′（1）=2（1-a）+2=0，
∴a=2；
（2）f′（x）=$\frac{2x（x-1）}{x+1}$（x＞-1），
令f′（x）＞0，可得函數(shù)f（x）在（-1，0），（1，+∞）上單調(diào)遞增，
令f′（x）＜0，可得函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，
∴x=0時(shí)，函數(shù)取得極大值4，x=1時(shí)，函數(shù)取得極小值f（1）=1+4ln2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的極值，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．