Question

5．已知點(diǎn)P在|x|+|y|≤1表示的平面區(qū)域內(nèi)，點(diǎn)Q在$\left\{\begin{array}{l}{|x-2|≤1}\\{|y-2|≤1}\end{array}\right.$表示的平面區(qū)域內(nèi)．
（1）畫出點(diǎn)P和點(diǎn)Q所在的平面區(qū)域；
（2）求P與Q之間的最大距離和最小距離．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二元一次不等式組表示平面區(qū)域進(jìn)行作圖即可．
（2）利用數(shù)形結(jié)合以及點(diǎn)到直線的距離公式進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）|x|+|y|≤1對(duì)應(yīng)的區(qū)域?yàn)檎�方形ABCD，
$\left\{\begin{array}{l}{|x-2|≤1}\\{|y-2|≤1}\end{array}\right.$等價(jià)為$\left\{\begin{array}{l}{1≤x≤3}\\{1≤y≤3}\end{array}\right.$對(duì)應(yīng)的區(qū)域?yàn)檎�方形EFGH
（2）由條件知AB的方程為x+y=1，CD的方程為x+y=-1，
則E到AB的距離最小，此時(shí)E（1，1），
E到AB：x+y-1=0的距離d=$\frac{|1+1-1|}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
G到CD：x+y+1=0的距離最大，此時(shí)d=$\frac{|3+3+1|}{\sqrt{2}}=\frac{7}{\sqrt{2}}$=$\frac{7\sqrt{2}}{2}$．
即P與Q之間的最大距離$\frac{7\sqrt{2}}{2}$和最小距離是$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用二元一次不等式組表示平面區(qū)域以及數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．