Question

4．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知△ABC的面積為3sinA，周長為4（$\sqrt{2}$+1），且sinB+sinC=$\sqrt{2}$sinA．
（1）求a及cosA的值；
（2）求cos（2A-$\frac{π}{3}$）的值．

Answer 1

分析 （1）由已知及三角形面積公式可求bc=6，進而可求a，利用余弦定理即可得解cosA的值．
（2）利用同角三角函數(shù)基本關系式可求sinA，利用二倍角公式可求sin2A，cos2A的值，進而利用兩角差的余弦函數(shù)公式即可計算得解．

解答 解：（1）∵△ABC的面積為3sinA=$\frac{1}{2}$bcsinA，
∴可得：bc=6，
∵sinB+sinC=$\sqrt{2}$sinA，可得：b+c=$\sqrt{2}a$，
∴由周長為4（$\sqrt{2}$+1）=$\sqrt{2}a$+a，解得：a=4，
∴cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{（b+c）^{2}-2bc-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{{a}^{2}-12}{12}$=$\frac{1}{3}$，
（2）∵cosA=$\frac{1}{3}$，
∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴sin2A=2sinAcosA=$\frac{4\sqrt{2}}{9}$，cos2A=2cos²A-1=-$\frac{7}{9}$，
∴cos（2A-$\frac{π}{3}$）=cos2Acos$\frac{π}{3}$+sin2Asin$\frac{π}{3}$=$\frac{4\sqrt{6}-7}{18}$．

點評 本題主要考查了三角形面積公式，余弦定理，同角三角函數(shù)基本關系式，二倍角公式，兩角差的余弦函數(shù)公式在解三角形中的應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于基礎題．