Question

3．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{|{{2^x}-1}|}}{{{2^x}+1}}$．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并證明函數(shù)f（x）在（-∞，0）上的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （1）計算f（-x）和f（x）的關(guān)系，判斷函數(shù)的奇偶性即可；（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義判斷函數(shù)的單調(diào)性即可．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）的定義域為R，
且$f（{-x}）=\frac{{|{{2^{-x}}-1}|}}{{{2^{-x}}+1}}=\frac{{|{1-{2^x}}|}}{{1+{2^x}}}=f（x）$，
所以函數(shù)f（x）為偶函數(shù)．
（2）函數(shù)f（x）的減區(qū)間是（-∞，0），增區(qū)間是（0，+∞），
x∈（-∞，0）時，f（x）=$\frac{2}{{2}^{x}+1}$-1，
任取x₁，x₂∈（-∞，0），且x₁＜x₂，
則f（x₂）-f（x₂）
=$\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}+1}$-1-$\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}$+1=$\frac{2{（2}^{{x}_{1}}{-2}^{{x}_{2}}）}{{（2}^{{x}_{1}}+1）{（2}^{{x}_{2}}+1）}$，
∵x₁＜x₂，∴${2^{x_1}}-{2^{x_2}}＜0，{2^{x_1}}+1＞0，{2^{x_2}}+1＞0$，
∴f（x₂）-f（x₁）＜0，
∴f（x₂）＜f（x₁），
∴f（x）為減函數(shù)．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性問題，是一道中檔題．