Question

18．已知函數(shù)$f（x）=\frac{{{x^2}+ax+4}}{x}$為奇函數(shù)．
（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間$[{\frac{m}{2}，m}]（{m＞0}）$上為單調(diào)函數(shù)，求m的取值范圍；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，k]上的最小值為3k，求k的值．

Answer 1

分析 （1）由題意和奇函數(shù)的性質(zhì)得f（-1）=-f（1），代入解析式列出方程求出a，可求出f（x）并判斷出f（x）的單調(diào)性，由條件和單調(diào)性列出關(guān)于m的不等式，求出m的取值范圍；
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和條件，分兩種情況列出不等式組，求出k的值．

解答 解：（1）∵函數(shù)$f（x）=\frac{{{x^2}+ax+4}}{x}$為奇函數(shù)，
∴f（-1）=-f（1），則-（1-a+4）=-（1+a+4），解得a=0，
即$f（x）=\frac{{x}^{2}+4}{x}$=$x+\frac{4}{x}$，
∴f（x）在（0，2）上是減函數(shù)，在（2，+∞）上是增函數(shù)，
∵函數(shù)f（x）在區(qū)間$[{\frac{m}{2}，m}]（{m＞0}）$上為單調(diào)函數(shù)，
∴m≤2或$\frac{m}{2}≥2$，則0＜m≤2或m≥4，
∴m的取值范圍是（0，2]∪[4，+∞）；
（2）由（1）知，
f（x）在（0，2）上是減函數(shù)，在（2，+∞）上是增函數(shù)，
∵f（x）在區(qū)間[1，k]上的最小值為3k，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1＜k≤2}\\{f（k）=k+\frac{4}{k}=3k}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{k≥2}\\{f（2）=2+\frac{4}{2}=3k}\end{array}\right.$，
解得k=$\sqrt{2}$或k=$\frac{4}{3}$（舍去），
即k的值是$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，以及對(duì)號(hào)函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，考查方程思想，分類討論思想，屬于中檔題．