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9.如圖甲,在平面四邊形PABC中,PA=AC=2,PA=AC=2,∠P=45°,∠B=90°,∠PCB=105°,現(xiàn)將四邊形PABC沿AC折起,使平面PAC⊥平面ABC(如圖乙),點D是棱PB的中點.
(Ⅰ)求證:BC⊥AD;
(Ⅱ)試探究在棱PC上是否存在點E,使得平面ADE與平面ABC所成的二面角的余弦值為217.若存在,請確定點E的位置;若不存在,請說明理由.

分析 (Ⅰ)根據(jù)線面垂直的性質定理證明BC⊥平面PAB即可證明BC⊥AD;
(Ⅱ)建立空間坐標系,求出平面的法向量,利用向量法建立方程解方程即可.

解答 (Ⅰ)證明:∵平面PAC⊥平面ABC,
平面PAC∩平面ABC=AC,PA⊥AC,
∴PA⊥平面ABC,∴PA⊥BC…..….(3分)
又由圖甲知BC⊥BA,PA∩BA=A,
∴BC⊥平面PAB,
又AD?平面PAB,∴BC⊥AD.…..….(6分)
(Ⅱ)解:如圖所示,以點A為坐標原點,分別以射線AC,AP為x,z軸,
以垂直平面APC向外方向為y軸建立空間直角坐標系.
A000P002C200B32320D34341,AD=34341,
PC=202,AP=002,
若存在點E,設\overrightarrow{PE}=λ\overrightarrow{PC}=(2λ,0,-2λ),(0≤λ≤1),
\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{PE}=(2λ,0,2-2λ),…..….(8分)
設平面ADE的法向量為\overrightarrow m=(x,y,z),
\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow m•\overrightarrow{AD}=0}\\{\overrightarrow m•\overrightarrow{AE}=0}\end{array}}\right.,即\left\{{\begin{array}{l}{\frac{3}{4}x+\frac{{\sqrt{3}}}{4}y+z=0}\\{2λx+(2-2λ)z=0}\end{array}}\right.
令z=λ,則x=λ-1,y=\frac{3-7λ}{{\sqrt{3}}},故\overrightarrow m=(λ-1,\frac{3-7λ}{{\sqrt{3}}},λ)
平面ABC的法向量\overrightarrow{n}=(0,0,1),…..…(10分),
|{cos<\overrightarrow m,\overrightarrow n>}|=\frac{{|{\overrightarrow m•\overrightarrow n}|}}{{|{\overrightarrow m}|•|{\overrightarrow n}|}}=\frac{λ}{{\sqrt{{{({λ-1})}^2}+{{(\frac{3-7λ}{{\sqrt{3}}})}^2}+{λ^2}}×1}}=\frac{{\sqrt{21}}}{7}
解得λ=\frac{1}{2}
∴存在點E,且點E為棱PC的中點.(12分)

點評 本題主要考查空間線面垂直的判斷以及二面角的求解,利用線面垂直的判定定理以及二面角的定義是解決本題的關鍵.考查學生的運算和推理能力.

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關于上述樣本的下列結論中,正確的是( �。�
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